Définition d'une fonction valeur absolue

bonsoir

"il nous demande c'est de montrer que cette fonction est supérieure à 0 étant donnée qu'il s'agit d'une fonction racine carrée" --- tout à fait

numérateur = -16 --- négatif
on doit donc chercher les valeurs de x qui rendent le déno. négatif ET non nul
- I -x²+x+6 I - 1 --- est-ce bien écrit comme ça ?

- I -x²+x+6 I - 1 < 0 <=>
- ( I -x²+x+6 I + 1 ) < 0 <=>
I -x²+x+6 I + 1 > 0

pour étudier le signe de ceci, tu dois te débarrasser de la valeur absolue en étudiant sur des intervalles.

rappel :
I A I = A si A est >0
I A I = - A si A est <0

donc la priorité est d'étudier le signe de -x²+x+6
(tableau de signes)
ce qui te permettra d'enlever les v.a. sur 2 intervalles (à trouver)
et de remonter ainsi "en cascade" jusqu'au signe de -I-x²+x+6I-1

as-tu compris ?

Merci!
Alors quand j'enlève la valeur absolue je me retrouve avec
x²-x-6 si x appartient à -l'infini;-2 U 3;+infini
-x²+x+6 si x appartient à -2;3

Est ce correct? Par contre je n'ai pas compris comment on remonte "en cascade"?

stop, je crois que je me suis laissée emportée...

excuse-moi, j'ai fait compliqué pour rien.
on a ceci :

- I -x²+x+6 I - 1 < 0 <=>
- ( I -x²+x+6 I + 1 ) < 0 <=>
I -x²+x+6 I + 1 > 0

or I -x²+x+6 I + 1 est TOUJOURS strictement positif, puisque l'on ajoute 1 à une v.a. (positive ou nulle)!

--> le déno ne peut donc jamais être nul

donc - I -x²+x+6 I - 1 est toujours strictement négatif,
donc (-16)/-abs(-x²+x+6)-1) > 0
dons la racine carrée est toujours définie.

désolée pour cette confusion :/
(l'avantage c'est que tu as la méthode pour se débarrasser des v.a.)

Ahh maintenant tout est clair! Merci beaucoup Carita. Oui maintenant j'ai tout compris sur les v.a

bonne soirée :)

Est ce que je peux encore vous demander votre aide sur un autre exercice où je bloque?

oui, si je sais faire.
de quoi s'agit-il ?

Alors, c'est toujours en lien avec des fonctions et des valeurs absolues..
L'énoncé est soit m un réel. On considère la fonction h définie sur R par h(x)=-2x²+4x+16. Donc dans un premier temps on devait déterminer les variations de la fonction h ainsi que son tableau de signes. Alors j'ai trouvé que la fonction était croissante sur - infini;1 et décroissante sur 1;+ infini et que la fonction était positive entre ses racines soient entre -2 et 4.. Jusque là je pense que ça va mais c'est après.. On nous demande d'en déduire une expression de la fonction k définie sur R par k(x)= abs(h(x)) sans utiliser le symbole valeur absolue.. et puis de terminer dans un second temps le nombre de solution de l'équation k(x)=m suivant les valeurs de m, ainsi que les valeurs de ces solutions suivants m.

tes résultats sont justes

tu as vu que la fonction était positive entre ses racines soient entre -2 et 4
elle est donc négatives à l'extérieur des racines

donc sur ]-oo;-2] U[4;+oo[ , la valeur absolue de h(x) sera égal à l'opposé de h(x)

ainsi,
sur [-2;4] , k(x) = h(x) = -2x²+4x+16
sur ]-oo;-2] U[4;+oo[, k(x) = ...


déterminer le nombre de solutions de l'équation k(x)=m suivant les valeurs de m, ainsi que les valeurs de ces solutions suivants m.

on va résoudre l'équation k(x) = m séparément sur les 2 intervalles d'étude :
sur [-2;4] ,
k(x) = m <=>
-2x²+4x+16-m = 0
delta --- et on discute le signe de delta selon la valeur de m (0, 1 ou 2 solutions)

puis idem sur ]-oo;-2] U[4;+oo[

je reviens après le repas.

Alors je trouve le meme delta sur les deux intervalles c'est à dire 144-m, est ce possible? et que donc si m=0, il n'y a qu'une solution et après je sais pas

on note que k(x)=m ne peut avoir de solutions que pour m >=0
puisque k(x) est toujours >=0
---

sur [-2;4] ,
k(x) = m <=>
-2x²+4x+16-m = 0

delta = b²-4ac = 4²-4*(-2)*(16-m) = 16+8(16-m) = 144-8m

delta > 0 ----- 2 solutions
<=> m < 18

sur l'autre ensemble le delta est =144+8m

on y revient demain si tu veux couper.

Alors si je comprends bien sur [-2;4], k(x) n'a que deux solutions quand m < 18?
Et sur ]-oo;-2] U[4;+oo[, 2 autres également quand m > -18?

On ne prend pas en compte quand delta = 0? Quand il n' y a qu'une solution?

sur [-2;4], k(x) n'a que deux solutions quand m < 18?
... et donc une seule pour m=18 (delta nul)

]-oo;-2] U[4;+oo[, 2 autres également quand m > -18? oui

et bien sur, tu dois prendre en compte tous les cas

fais la récapitulation du nb de solutions pour chaque valeur ou intervalles de valeurs de m

m<0 --- pas de sol.
m=0
0 m=18
m>18

+ la valeur de ces solutions.

Je ne comprends plus là.. Pourquoi ceci est faux : sur [-2;4], k(x) n'a que deux solutions quand m < 18?
Et puis "la valeur de ces solutions", c'est-à-dire?
Je suis désolé si je vous ennuie mais j'aimerais comprendre avant d'aller me coucher comme ça je suis débarrassé.

je n'ai pas dit que c'est faux : c'est juste

"la valeur de ces solutions" :
x1 et x2 quand delta est >0
x = -b/2a lorsque delta = 0

tu ne m'ennuies pas du tout :)
et je comprends que tu veuilles le finir: c'est toujours plus difficile de se "replonger" quand on fait une coupure.

pour la représentation des solutions et leur nombre, tu pourrais faire un tableau qui ressemblerait à ça :

.....sur[-2;4] ........sur]-oo;-2]U[4;+oo[ .....nb total de sol.
m<0 ....... 0 ......................0 ........................ 0
m=0 ......{-2;4}................{-2;4}....................... 2
0 m=18 ....
m>18 ....

sur [-2;4], je trouve 5 solutions meme si je devrais en trouver 8,
m<18 --> 2 solutions (delta positif)
m=18--> 1 solution (delta nul)
m=0--> 2solutions (delta positif)

Comment fait-on pour calculer "la valeur de ces solutions" :
x1 et x2 quand delta est >0
x = -b/2a lorsque delta = 0 parce que je trouve des racines bizarres..

Pourquoi quand m<0, il n'y a pas de solutions? Par exemple, si l'on prend m=-3, 144-8*(-3)=168, delta est bien positif..

"sur [-2;4], je trouve 5 solutions meme si je devrais en trouver 8"--- alors là je ne comprends pas :/
--> sur cet intervalle, selon la valeur de m, tu dois avoir soit 0, soit 1 soit 2 solutions.


Comment fait-on pour calculer "la valeur de ces solutions" :
x1 et x2 quand delta est >0

par ex sur [-2;4], quand 0 -2x²+4x+16-m = 0
delta=b²-4ac = 4²-4*(-2)*(16-m) = 16+8(16-m) = 144-8m = 4(36-2m)
rac(delta) = 2 V(36-2m)

x1 = (-b-rac(delta))/2a
= (-4-2V(36-2m))/(-4)
= 1 + V(36-2m))/2
x2 = (-b+rac(delta))/2a = ...

Pourquoi quand m<0, il n'y a pas de solutions?

définition de la fonction k : k(x)= abs(h(x))
donc k(x) est toujours positif (valeur absolue)

l'équation k(x)=m ne peut avoir de solution que si m est positif
tu comprends ?

Oui d'accord j'ai compris avec la valeur absolue mais je bloque vraiment avec les valeur des solutions, comment avez vous trouvé 1+V(36-2m)/-4??
Pour x2 je trouve -2V36-2m/2 mais ça ne doit surement pas etre ça..

"Pourquoi quand m<0, il n'y a pas de solutions? Par exemple, si l'on prend m=-3, 144-8*(-3)=168, delta est bien positif.. "

oui, mais si tu as au bout du calcul, tu verras que tu vas trouver 2 solutions qui n'appartiennent pas à l’intervalle [-2;4]
donc pas de sol.
et mm chose si tu recherches sur l'autre intervalle.

sur [-2;4], quand 0 -2x² + 4x + 16-m = 0

x1 = (-b-rac(delta))/2a
= (-4-2V(36-2m))/(-4)
= 1 + V(36-2m))/2

x2 = (-b+rac(delta))/2a
= (-4 + 2V(36-2m))/(-4)
= 1 - V(36-2m))/2

à quel moment précis tu ne comprends pas ?

Comment faites-vous pour passer de (-4-2V(36-2m))/(-4)à 1 + V(36-2m))/2 ?

(-4 - 2V(36-2m))/(-4)
= -4/(-4) - 2V(36-2m))/(-4)
= 1 + 2V(36-2m))/4
= 1 + V(36-2m))/2

Ahhh d'accord! Merci! :)
Bon je commence à y voir un peu plus clair ..

lol
si tu veux on finit cette partie demain matin, ce n'est plus que du calcul littéral.

Alors reprenons quand vous me disiez "sur [-2;4], je trouve 5 solutions même si je devrais en trouver 8"--- alors là je ne comprends pas :/
--> sur cet intervalle, selon la valeur de m, tu dois avoir soit 0, soit 1 soit 2 solutions.

D'accord ^^, vous pourrez vers quelle heure?

tout le matin à partir de 8h environ

Et bien à demain matin alors, merci pour votre aide :)
Je pense que je serai là vers 10h..

si je complète le tableau commencé avec nos précédents résultats :

........sur[-2;4] ........sur]-oo;-2]U[4;+oo[ .....nb total de sol.
m<0 ....... - ...................... - ....................... 0
m=0 ......{-2;4}................{-2;4}....................... 2
0 ............. 1-V(36-2m))/2 .............? ....................... ?
m=18 ....
m>18 ....

on finira demain.
bonne nuit !

.....sur[-2;4] ........sur]-oo;-2]U[4;+oo[ .....nb total de sol.
m<0 ....... 0 ......................0 ........................ 0
m=0 ......{-2;4}................{-2;4}....................... 2
0 ......... 1-V(36-2m))/2 .............? ....................... ?
m=18 ......1
m>18 ......0

Non?

m=18 ...... 1 solution sur [-2;4] qui est = ?
m>18 ...... 0 solution sur [-2;4] oui

restera à faire sur ]-oo;-2]U[4;+oo[

a+

m=18 ...... 1 solution sur [-2;4] qui est = -4/-4 donc 1, non?

Oui, c'est compliqué ...
Bonne nuit!

exact

afin d'éviter toute confusion sur le tableau, on mettra dans les 'cases' les valeurs des solutions (dans un ensemble, entre accolades), et dans la dernière colonne, le nb total de solutions.

........sur[-2;4] ........sur]-oo;-2]U[4;+oo[ .....nb total de sol.
m<0 .... ens.vide ............ens.vide ....................... 0
m=0 ......{-2;4}................{-2;4}....................... 2
0 ............... 1-V(36-2m))/2 .............? ....................... ?
m=18 ......{1}................ ?....................... ?
m>18 .....ens.vide........... ?....................... ?

........sur[-2;4] ........sur]-oo;-2]U[4;+oo[ .....nb total de sol.
m<0 .... ens.vide ............ens.vide ....................... 0
m=0 ......{-2;4}................{-2;4}....................... 2
0 ............... 1-V(36-2m))/2 .............? ....................... ?
m=18 ......{1}................ ?....................... 1
m>18 .....ens.vide........... ?....................... 0

m=18 ......{1}..... ?......... 1 -- non, pas 1 seule sol.

et l'étude sur ]-oo;-2]U[4;+oo[ ?
il y a des solutions sur cet intervalle, étant donné que l'on a vu que delta y est toujours >0 pour m positif.

récapitule tranquillement :
sur ]-oo;-2]U[4;+oo[, k(x) = ?
delta = ?
donc x1= ? x2= ?

Mais j'ai une question qui me vient, comment fait-on pour insérer le -18 dans le tableau pour le 2eme intervalle étant donne que pour m>-18 et les 2 sol sont 1-V(36-2m))/2 et 1+V(36-2m))/2

sur ]-oo;-2]U[4;+oo[, k(x) = 2x²²-4x-16-m=0
delta = 144+8m=4(36+2m); racine de delta = 2V(36+2m)
donc x1= 1-V(36+2m))/2 x2= 1+V(36+2m))/2

je te conseille , avec géogébra:
- de tracer la courbe de f(x) = abs( -2x² + 4x + 16)
- de définir un curseur m allant de -2 par ex., à 20
- de tracer la droite y=m
puis de faire varier lentement le curseur

--> repère le nombre de points d'intersection dans chaque cas:
m<0
m=0
0 m=18
m>18

ça t'aidera bien :)

sur ]-oo;-2]U[4;+oo[, k(x) = 2x²-4x-16-m=0
delta = 144+8m=4(36+2m); racine de delta = 2V(36+2m) --- ok

donc
x1 = 1 - (V(36+2m))/2
x2 = 1 + (V(36+2m))/2 --- ok, formule générale pour m positif

je note seulement pour cette colonne + la dernière

0
m=18 ..calcule x1 et x2 dans ce cas particulier

m>18 .. {1-V(36+2m))/2 ; 1+V(36+2m))/2 }...donc ? sol. au total

je rectifie la 1ère ligne :
sur ]-oo;-2]U[4;+oo[, équation 2x²-4x-16-m =0

je m'absente un peu mais je repasse régulièrement voir tes réponses.

........sur[-2;4] ........sur]-oo;-2]U[4;+oo[ .....nb total de sol.
m<0 .... ens.vide ............ens.vide ....................... 0
m=0 ......{-2;4}................{-2;4}....................... 2
0 m=18 ......{1}................ ?....................... 1
m>18 .....ens.vide........... {1-V(36+2m))/2 ; 1+V(36+2m))/2 }................. 2

m=18 ..calcule x1 et x2 dans ce cas particulier avec geogebra la droite y=m croise la fonction quand m=18 à A(1;18) B(-3.24;18) et C(5.24;18)

euuh excusez moi, enlevez le point A3

A*

Les racines sont 1-3V2 et 1+3V2 ?

m=18 .. -3.24 et 5.24 --> donne les valeurs exactes, pas des valeurs approchées lues sur le graphique qui n'est là que pour t'aider à contrôler la cohérence de tes résultats

pour m=18
1-V(36+2m))/2 = 1-V(36+2*18))/2 = ...

1+V(36+2m))/2 =

m=18 ......{1}................ ?....................... 3

........sur[-2;4] ........sur]-oo;-2]U[4;+oo[ .....nb total de sol.
m<0 .... ens.vide ............ens.vide ....................... 0
m=0 ......{-2;4}................{-2;4}....................... 2
0 m=18 ......{1}................ {1-3V2; 1+3V2}....................... 3
m>18 .....ens.vide........... {1-V(36+2m))/2 ; 1+V(36+2m))/2 }................. 2

messages croisés :/
1-3V2 et 1+3V2 : oui c'est ça !

tu as tout bien compris? d'autres questions ?

Oui merci Et donc quand je rédigerai, je dirai par exemple, sur l'intervalle [-2;4] la fonction n'a aucune solution quand m<0, 2 quand m=0 etc..?

Et puis, oui j'ai une dernière question ^^ Simple logique je pense mais qui me bloque un peu, alors on doit tracer des courbes représentatives de 4 fonctions sur l'intervalle (-11;11) et dans le MEME repère, cependant deux de ses fonctions vont jusqu'à 440 en ordonnés alors que d'autre seulement jusqu'à 10.. Vu qu'il faut que les courbes soient dans un meme repère, ça veut dire meme échelle, mais ça veut aussi dire que y'aurait une courbe qu'on ne verrait pas...

Enfin l'énoncé est dit comme ça, tracez les c.r. des fonctions f,g d'une part et h et m d'autre part dans un même repère sur l'intervalle ...

avant d'étudier chaque cas, tout au début, tu poseras la condition que m doit être >=0 à cause de la fonction en v.a.,
et ce qq soit x € R

ensuite, l'étude détaillée au cas par cas, comme on a fait, en commençant par le début :

- pourquoi on distingue les 2 intervalles de x : cf 28/10/2013 à 20:25

sur [-2;4], la fonction h(x)est positive
sur ]-oo;-2] U[4;+oo[, la fonction h(x) est négative

ainsi,
sur [-2;4] , k(x) = h(x) = -2x²+4x+16
sur ]-oo;-2] U[4;+oo[, k(x) = - h(x) = 2x²-4x-16

- on va étudier chacun des 2 cas séparément:
delta, discussion selon m, x1, x2 etc

- ensuite, je mettrais le tableau dûment complété, en récapitulation.

ta question de 29/10/2013 à 11:13
ah oui, ça c'est gênant :s

quelles sont les fonctions f,g et h ?
peut-être il y a une erreur dans tes calculs ?

tracez les c.r. des fonctions f,g d'une part et h et m d'autre part dans un même repère sur l'intervalle

je comprends : trace f et g ensemble
puis h et m ensemble mais sur un autre repère

Merci beaucoup :)
J'ai tracé les courbes à l'aide de geogebra donc je pense qu'elles sont justes.. Oui mais il est pourtant écrit "dans un meme repère"

sans doute "dans un meme repère" pour f et g
puis "dans un même (autre) repère" pour h et m ?
sinon, il serait écrit : tracer les 4 c.r. dans un mm repère.
s'il y tant d'écart sur les ordonnées, cela semble plus logique pour rester précis dans ton tracé.

bonne continuation :)
a+

Merci beaucoup pour votre aide!
Oui, je vais voir ça :)

A+