DERIVEES

Bonjour,

Pour commencer, rédaction à améliorer...

f(x) = x^4 / (7x^2+5x+1)

Cette fonction est dérivable sur son ensemble de définition Df comme étant une fonction rationnelle. (précsier Df en faisant le discriminant de 7x²+5x+1 >>> delta < 0 donc dénominateur non nul donc Df = R)

Posons f(x) = u(x) / v(x)
avec u(x) = x^4 et v(x) = 7x² + 5x + 1

Alors les dérivées respectives des fonctions u et v sont, pour tout x de Df = R :
u'(x) = 4x^3
v'(x) = 14x + 5

Ainsi, quel que soit x réel,
f'(x) = (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) / (v(x))²

Ainsi,
f'(x) = (4x^3(7x²+5x+1) - x^4(14x+5)) / (7x²+5x+1)
= x^3(4(7x²+5x+1) - x(14x+5)) / (7x²+5x+1)
= x^3(28x²+20x+4-14x²-5x) / (7x²+5x+1)
= x^3(14x²+15x+4) / (7x²+5x+1)
= ... (discriminant)
= x^3(x+1/2)(x+4/7) / (7x²+5x+1)

>>> valeurs remarquables dans le tableau : -4/7 ; -1/2 ; 0
>>> étude des signes des facteurs
>>> détermination des variations de f selon le signe de la dérivée

Bonne continuation ; tu as tous les éléments, JUSTES.

Merci pour ton aide mais je ne comprends pas pourquoi tu as mis 4*x^3 alors que la formule pour x^4 est x^3*x ou x^2 *x^2?
pour le dénominateur tu n'aurais pas oublié le carrée dans ton calcul.

Oui, j'ai oublié en effet le carré au dénominateur, mais cela ne change rien dans la détermination du signe de la dérivée.

Je te rappelle un élément du cours :
la dérivée de x^n est égale à n*x^(n-1)

Ainsi,
la dérivée de x^4 est égale à 4*x^(4-1) = 4*x^3 = 4x^3
la dérivée de x^2 est égale à 2*x^(2-1) = 2*x^1 = 2x
la dérivée de x^3 est égale à 3*x^(3-1) = 3*x^2 = 3x²

f'(x) = (4x^3(7x²+5x+1) - x^4(14x+5)) / (7x²+5x+1)
>>> je factorise par x^3 en remarquant que 4x^3 = 4*x^3 et que x^4 = x*x^3

C'est compris ?

oui c'est plus clair merci.Les 2 solutions sont donc -4/7 et -1/2 et 0.La fonctionest croissante sur - infini -4/7, décroissante -4/7 et -1/2, puis croissante sur -1/2 et 0.

Non !!! ATTENTION !


x _____ -oo _____ -4/7 _____ -1/2 _____ 0 _____ +oo
x^3 _________ - ________ - ________ - ________ +
x+1/2 _______ - ________ - ________ + ________ +
x+4/7 _______ - ________ + ________ + ________ +
(7x²+5x+1)² _ + ________ + ________ + ________ +

donc
f'(x) _______ - ________ + ________ - ________ +

f croissante sur [-4/7 ; -1/2] U R+
f décroissante sur ]-oo ; -4;7] U [-1/2 ; 0]

OK ???

Pense à vérifier tes affirmations en traçant le graphe de la fonction avec la calculette :-)
... même si, avec cette fonction, les variations ne sont pas nettement identifiables sur l'intervalle R-.

Compris ?

Oui oui j'ai compris mon erreur en reprenant le cours merci beaucoup pour ton aide qui fut si précieuse!
Je te souhaite une trés bonne et belle année 2011.

Merci pour tes bons voeux. Belle année également à toi et à tes proches. Savoure ces 2 jours et demi de vacances qu'il nous reste ! N'oublie pas enfin de fermer les devoirs que tu estimes terminés. Bonne continuation et à l'année prochaine ;-)


Niceteaching, prof de maths à Nice