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Sujet du devoir
Bonjour, voici l'exercice :
1) Montrer que (x – 2)(x² + 2x +4) = x^3 - 8.
2) Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x² + 16/x.
a. Calculer f'(x)et, à l’aide de la question 1, étudier le signe de f'(x).
b. Dresser le tableau de variation de f.
3) Un installateur de piscine doit appliquer une résine sur les parois intérieures afin d’en assurer l’étanchéité. Le modèle de piscine choisi a la forme d’un pavé droit à base carrée de volume 4 m^3. Le client souhaite rendre minimum la surface à enduire de résine.
Le but de l’exercice est de déterminer les dimensions de la piscine répondant à la demande du client. (voir l'image)
On note p, la profondeur de la piscine et x le côté de sa base (carrée).
Montrer que l’aire de la surface à enduire est (en m²) : A = x² + 16/x
4) Résoudre alors le problème posé.
Image concernant mon devoir de Mathématiques
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai seulement réussi la question 1) :
(x – 2)(x² + 2x +4)
x^3 + 2x² + 4x – 2x² - 4x – 8
x^3 - 8
Je fais des cours par correspondances et j'ai beaucoup de mal à comprendre les maths, j'espère que vous m'aiderez à faire cet exercice.
9 commentaires pour ce devoir
Re-Bonjour,
Maintenant que tu as la bonne dérivée f'(x) = (2x^3 - 16) / x², voyons le lien avec la question précédente.
Tu as (x – 2)(x² + 2x +4) = x^3 - 8.
Tu peux facilement voir avec le facteur x-2 que 2 est la ( et l'unique ) racine de la fonction.
Donc dans ton tableau de signe, tu auras à placer le x = 2
De plus, tu as x^3 - 8,
Or ici, a = 1 donc la fonction est croissante. Tu peux en déduire le placement de signe + et - dans ton tableau
Quel est le rapport avec la dérivée trouvée ?
x^3 - 8 = (x – 2)(x² + 2x +4)
Si tu multiplies tout par 2,
2x^3 - 16 = ....
Si tu divises tout par x²
(2x^3 - 16) / x² = ....
De là tu pourras en déduire son tableau de signe.
Si tu as des questions n'hésite pas !
Bonne continuation,
Khalyn.
Bonjour,
Encore merci pour ta réponse mais là je n'ai absolument rien compris...
Pourquoi on a besoin de savoir que (x – 2)(x² + 2x +4) = x^3 - 8 ? Vraiment je suis perdue...
Bonjour,
Je vais t'expliquer.
Tu sais que (x – 2)(x² + 2x +4) = x^3 - 8
Tu souhaite faire le tableau de signe de cette dérivée f'(x) = (2x^3 - 16) / x².
Analysons rapidement (x – 2)(x² + 2x +4)
La seule façon de résoudre (x – 2)(x² + 2x +4) = 0, c'est de remplacer x par 2. [ ( x - 2 ) s'annule.] (x² + 2x +4) sera strictement positif, quelque soit le nombre x choisi.
Donc tu as ton unique racine, qui est 2.
Or comme (x – 2)(x² + 2x +4) = x^3 - 8, l'unique racine de la fonction x^3 - 8 est 2 également !
Or comme c'est une fonction polynôme de degré 3, tu sais qu'elle sera croissante sur R.
Donc par déduction, x^3 - 8 est négative sur [ 0 ; 2 [ et positive sur ] 2 ; + infini [
Tu es d'accord qu'il en est de même pour (x – 2)(x² + 2x +4) ;)
Maintenant, qu'elle est la relation avec cette dérivée f'(x) = (2x^3 - 16) / x² ?
x^3 - 8 = (x – 2)(x² + 2x +4)
Tu multiplies tout par 2 :
2 (x^3 - 8) = 2(x – 2)(x² + 2x +4)
Puis tu divises tout par x² :
[2 (x^3 - 8 )] / x² = [2(x – 2)(x² + 2x +4)] / x²
(2x^3 - 16) / x² = [2(x – 2)(x² + 2x +4)] / x²
En conclusion, f'(x) est du même signe que [2(x – 2)(x² + 2x +4)] / x²
Or ici, le dénominateur x² sera toujours positif, le signe ne dépends donc pas de lui,
Au niveau du numérateur, le 2 est inutile, étant une constante.
(x² + 2x +4) est également strictement positif.
Il ne reste que (x – 2) qui va déterminer les racines de ta dérivée.
Or c'est exactement la même que la fonction de la question 1, racine = 2 !
De plus, dans ta dérivée f'(x) = (2x^3 - 16) / x² , a = 2 et donc la fonction est croissante.
Tu auras donc un tableau de signe :
Négatif sur [ 0 ; 2 [
Positif sur ] 2; + infini [
Comme tu peux le remarquer, le 0 est une valeur interdite car le dénominateur serait = 0. N'oublie pas les doubles barres.
Avec cela, tu pourras ensuite faire le tableau de variation de f(x).
Essaye de bien comprendre la réflexion, si tu as des questions n'hésite pas.
Bonne continuation,
Khalyn.
Merci beaucoup pour l'explication, je pense avoir compris ! Il y juste le tableau de variation que je n'arrive pas à faire...
J'ai fait :
x | 0 2 +∞
f |
Mais je ne sais pas quoi mettre pour les variations...
Je suis content de savoir que tu comprends la démarche =)
Concernant le tableau de variation :
Tu as actuellement :
x | 0 2 +∞
f | ||
Les doubles barres permettent de montrer que la valeur 0 est interdite
Pour trouver les variations de la fonction, il suffit de regarder le signe de la dérivée.
- Si le signe de la dérivée est - sur un intervalle quelconque , la fonction sera décroissante sur ce même intervalle.
- Si le signe de la dérivée est + sur un intervalle quelconque, la fonction sera croissante sur ce même intervalle.
Comme tu connais les signes (positif ou négatif ) de la dérivée, tu peux aisément trouver les variations de la fonction =)
Je peux repasser assez souvent si besoin, donc n'hésite pas à poser des questions
Bonne continuation,
Khalyn.
Ok, c'est bon j'ai compris :)
Encore merci pour ton aide, ça m'a été très utile !
Ce fut un plaisir de t'aider ;)
Bonne continuation à toi et je te souhaite un agréable week-end,
Khalyn,
Ils ont besoin d'aide !
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Bonjour,
Pour la question 2 a /
f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(X) = X² + 16/X.
Pour calculer la dérivée f'(X),
Il est facile de trouver la dérivée de X²,
Calcule la dérivée de 16 / X en utilisant la forme 16 x (1/X), sachant que la forme 1/X est dans ton cours de dérivation.
Bonne continuation,
Khalyn.
Merci pour ta réponse, j'ai fait ça :
f'(x) = 2x + -16/x²
f’(x) = (2x^3 - 16) / x²
Mais après je suis bloquée...