Devoir Maison de mathématiques sur les logarithmes, limites, asymptotes

Sujet du devoir

Exercice 1 :

On considére la fonction définie sur [0;+ infini] par f(x)= x²-2-2lnx et on note (Cf) sa courbe représentative.

1) a) Déterminer lim f(x) quand x tend vers 0+.
b) Montrer que pour tout x de [0;+infini], f(x) = x²( 1-2/x²-2lnx/x²)
En déduire lim f(x) quand x tend vers + infini.
c) Préciser les éventuelles asymptotes.

2) Calculer f'(x) et étudier son signe
Dresser le tableau de variation

3) Montrer que l'équation f(x)=0 admet 2 solutions dans l'intervalle[0;+infini]
Donner un encadrement d'amplitude 1/100ème de ces solutions que l'on appellera Alpha et Beta.

4) Déduire des questions 2 et 3 le signe de f(x) lorsque x appartient à [0;+infini].

Exercice 2 : ( les 3 questions sont indépendantes)

1) On considère la fonction f définie sur [0;+infini] par f(x=lnx et on note (Cf) sa courbe représentative.
Démontrer que la tangente (d) à la courbe (Cf) au point d'abscisse e passe par l'origine.

2) Déterminer le signe de l'expression définie sur [0;+infini] par :
A= (x²-2x-3) lnx.

3) On considère la fonction f définie sur [ 1;+infini] par f(x)=2x+1-1/x-1

a) Déterminer les limites de f en 1 et en +infini.
b) Démontrer que (Cf) admet la droite (d) d'équation y=2x+1 comme asymptote au voisinage de +infini:
c) Etudier la position relative de (Cf) et de (d)

Où j'en suis dans mon devoir

Dans l'exercice 1, lim de f(x) quand x tend vers o+ = -infini : enfin, je le pense.
f'(x) = 2x car la dérivée de x²=2x ?