Devoir Première S Suites - Produit scalaire

Sujet du devoir

Bonjour à tous! Voici le sujet su devoir en question:

EXERCICE 1

On considère un triangle ABC rectangle en A, I le milieu de [BC], H le projeté orthogonal de A sur (BC),
P celui de H sur (AB) et Q celui de H sur (AC). On veut démontrer que (AI) est perpendiculaire à (QP).

Première méthode

1) Exprimer le vecteur AI en fonction des vecteurs AB et AC. (désolé, je n'arrive pas à faire la flèche sur les vecteurs)

2) Montrer que AB ⋅ AP = AH^2. (AB et AP sont des vecteurs).
En déduire une comparaison des produits scalaires : AB . AP et AC . AQ (tous les quatre des vecteurs).

3) Calculer le produit scalaire AI . PQ et conclure.

Deuxième méthode

Onpose AB = b et AC = c. On considère le repère orthonormé (A;i,j) où i est le vecteur unitaire colinéaire à AB et de même sens, et j est le vecteur unitaire colinéaire à AC et de même sens.

4) Déterminer les coordonnées des points A, B et C dans le repère (A;i;j)

5) Déterminer une équation de la droite (BC). En déduire que les coordonnées du point H sont :

Xh = (bc^2)/(b^2+c^2) Yh = (b^2c)/(b^2+c^2)

6) Déterminer les coordonnées des vecteurs QP et AI. Conclure.

ECERCICE 2

1) On considère un triangle ABC isocèle en A et tel que BC = AH = 2, H étant le projeté orthogonal de A
sur (BC). Soit K le point défini par : AK = 4 AH. Montrer que K est l’orthocentre du triangle ABC.

EXERCICE 4

L’équipe A et l’équipe B s’affrontent au jeu de Débaras-Ball.
Ce jeu se pratique sur un terrain rectangulaire partagé par un filet en deux camps : celui de l’équipe A et celui de l’équipe B. Les équipes jouent à tour de rôle.
Les règles du jeu sont les suivantes:
- Au départ 180 balles sont dans le camp A et 40 balles dans le camp B.
- Au 1er signal, les joueurs de l’équipe A lancent le plus possible de balles de leur camp dans le camp adverse (les joueurs de l’équipe B ne font donc rien) ;
- Au 2e signal au bout de 30s, les joueurs de l’équipe A s’arrêtent et les joueurs de l’équipe B lancent les balles de leur camp dans le camp adverse. Ils s’arrêtent 30s plus tard au 3ème signal.
- Au 3e signal, les joueurs de l’équipe A lancent des balles de leur camp dans le camp adverse .
- Au bout de 10 minutes, tout le monde s’arrête et on compte le nombre de balles de chaque camp.

L’équipe qui a le moins de balles dans son camp gagne la partie.
On note an (resp. bn ) le nombre de balles présentes dans le camp A (resp. B) n minutes après le commencement de la partie. Pour la modélisation de cette situation que l’on considèrera, les nombres
an et bn ne seront pas forcément entiers.
On a donc : a0 = 180 et b0 = 40.
On suppose que l’équipe A arrive à se débarrasser de 60% des balles présentes dans son camp en 30s et que l’équipe B se débarrasse de 30% des balles de son camp en 30s.

1) On considère la suite (un ) définie pour tout n de N par : un = 7an − 5bn . Montrer que (un ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le 1er terme.

2) Exprimer un en fonction de n.

3) Expliquer pourquoi, pour tout n de N, an + bn = 220.

4) En déduire une expression de an et bn en fonction de n

Où j'en suis dans mon devoir

Je remets ce devoir en ligne, ayant obtenu un délai supplémentaire par mon professeur.

5) de l'exo 1:

Je trouve bien que Xh = (bc^2)/(b^2+c^2) mais après je bloque pour trouver la valeur de Yh.
D'après la condition d'orthogonalité, on aurait Yh=(b/c)Xh.

Mais je ne réussi pas à faire ce calcul. Help!

Si quelqu'un a une idée pour le deux, ca serait sympa aussi!

(et le quatre, que je trouve vraiment compliqué)