Dm de math sur les vecteurs

bonjour

en 1b, tu as établi les équations cartésiennes des 2 droites
en 2a, tu établis les équations réduites, tu poses y = y'
et tu résous en x

tu peux aussi remarquer que le point d’intersection est le point d'intersection des médianes, c'est donc le centre de gravité
tel que AG = 2/3 AA'

Par le calcul j'obtiens un résultat x=-4 je ne vois pas d'erreur dans mon cal calcul -_- .

quelles coordonnées as-tu posées pour tes points?

pour tes points A, B, C, A', B' et C'
l'erreur vient peut-être de là?

es-tu toujours là?

A(0,0) B(1,0) C(1,0) A'(1/2,1/2) B'(0,1/2) C'(1/2;0)

exact, et les équations de (AA') et (BB')?

AA'(1/2,1/2) 1/2x-1/2y=0 équation réduite y=x
BB'(-1,1/2) 1/2x-y-1/2=0 équation réduite y'=1/2x-2

bonjour

(BB') : y'= -1/2x+1/2
contrôle :
B(1;0) ---> -1/2 *1 + 1/2 = 0
B'(0;1/2) ---> -1/2 *0 + 1/2 = 1/2
continue
dis-moi les résultats que tu trouves

vecteur BB'(-1,1/2) et vecteur BM(x-1,y-0) on suppose que M appartient à la droite.
1/2*(x-1)-(-1y)=0
1/2x-1/2+y=0

oui, on retrouve le même résultat par cette façon aussi
moi j'ai utilisé ici:
- chercher le coeff directeur avec (y'-y)/(x'-x)
- puis je cherche b avec un des 2 points

ceci dit, on te demande dans l'énoncé les équations cartésiennes
donc c'est bien la forme que tu as donnée :
ax+by+c = 0 ---> veille bien à mettre dans cet ordre

la forme y=ax+b étant la forme réduite

Quand j'essaye de résoudre par x j'obtiens ceci :

y=x et y'=-1/2x+1/2

y=y' x=-1/2x+1/2 et j'obtiens à la fin x=2/5

je voulais savoir si cela est correcte.

excuse moi je ne comprends pas pourquoi tu fais x=y?

donne-moi le détail du calcul et de ton raisonnement, je pourrai te dire où ça accroche

Merci de suivre le sujet, je t'en suis reconnaissant. Comme tu m'avait dit plus haut je doit faire y=y' donc faut mettre sous forme y=mx+p ce qui pour la première -1/2y=1/2x ce qui fait y=x
et je fait pareille pour l'autre ce qui fait y'=-1/2x+1/2

ah ok!tu es déjà sur la 1b)...
j'attendais l'équation de (CC'), je ne comprenais pas, excuse-moi.

pour la b)
le point G est à l'intersection de(AA') et de (BB')
ses coordonnées vérifient donc les 2 équations, d'où mon "y=y' "

donc, c'est bien :
x=-1/2x+1/2 : mais ça ne donne pas x=2/5 !
reprends ton calcul

J'obtiens x=1/3 et après je trouve y=-1/2*1/3+1/2
y=1/3

oui, G (1/3; 1/3)

On utilise l'équation de CC' qui est 1/2x+y-1-2=0 et on remplace par le point G ce qui donne 0 et prouve bien que G appartient à la droite et on viens de démontrer le théorème des médianes non ?

1/2x+y-1-2=0
1/2x+y-3=0--> es-tu sûr de ton équation de (CC')?
reprends

oui c'est le théorème des médianes

Je vois pas comment développer le vecteur AG en utilisant vecteur AB et AC. Peux tu m'indiquer une piste s'il te plait?

J'obtiens pour CC'(1/2,-1)et CM(x,y-1) et cela donne pour équation cartésienne -1x-1/2y+1/2

oui, mais reprends l'équation (CC'), elle est fausse

3a) pense que AB et AC sont les axes du repère...
utilise les coordonnées du vecteur AG

pour 3b) utilise la relation de Chasles pour faire apparaitre vectAB et vect AC
regroupe, utilise la 3a), tu arrives au vecteur nul

attention, il manque = 0, sinon cela ne veut rien dire

-1x-1/2y+1/2 =0
2x + y -1 = 0 ---> on peut multiplier tout par (-2) afin d'avoir une équation plus 'légère'

je reviens dans 10mn

Rédaction de l'exercice 1 :
1.a. A(0,0) B(1,0) C(1,0) A'(1/2,1/2) B'(0,1/2) C'(1/2;0)
b.AA'(1/2,1/2) AM(x-0,y-0) x-y=0
BB'(-1,1/2) BM(x-1,y-0) x+2y-1=0
CC'(1/2,-1) CM(x-0,y-1) 2x+y-1=0
2.a.Le point G est à l'intersection de(AA') et de (BB').
Les coordonnées vérifient donc les 2 équations, d'où y=y'
y=x y'=-1/2x+1/2

x=-1/2x+1/2
x+1/2x=1/2
3/2x=1/2
x=(1/2)/(3/2)
x=2/6
x=1/3

Comme y=x alors les coordonnées du point G(1/3,1/3)
b.On remplace les termes de l'équation cartésienne pour savoir si il appartient à la droite. 2*1/3+1/3-1=0
2/3+1/3-1=0
3/3-1=0
1-1=0
0=0
G appartient à la droite CC'
Nous venons de démontrer le théorème des milieux.
3.a.AG=1/3AB+1/3AC 3AG=AB+AC
b.GA+GB+GC+0
GA+AA+GA+AB+GA+AC=0
3GA+AB=0
6GG=0
0=0
c.MA+MB+MC=0
MG+GA+MG+GB+MG+GC=0
3MG+GA+GB+GC=0
3MG=0

Je ne vois pas la caractéristique vectorielle et pour la 4 je ne vois pas comment faire

Nous venons de démontrer le théorème des milieux. ---> non, le théorème des médianes !

(tout ce qui suit est en vecteurs)
b.GA+GB+GC+0 -----> =0, erreur de frappe?
GA+AA+GA+AB+GA+AC=0 ---> inutile de mettre AA
3GA+AB=0 ----> il manque + AC, d'où la suite est fausse
reprends à partir de là


c.MA+MB+MC=0
MG+GA+MG+GB+MG+GC=0
3MG+GA+GB+GC=0 ---> oui, précise "résultat du 3b)"
3MG=0 ---> oui, mais la conclusion, réponse à la question posée?


pour la 4
utilise encore la relation de Chasles en faisant apparaitre G dans les vecteurs

je reviens à 14h

correction
(tout ce qui suit est en vecteurs)
b.GA+GB+GC=0
GA+GA+AB+GA+AC=0
3GA+AB+AC=0 AB+AC=3AG
3GA+3AG=0
6GG=0
0=0
L'équation vectorielle est donc vrai
c.MA+MB+MC=0
MG+GA+MG+GB+MG+GC=0
3MG+GA+GB+GC=0 GA+GB+GC=0 par rapport à la 2.b
3MG=0

M est en G car le vecteur MG est un vecteur nul. (mais la caractéristique vectorielle là je vois pas)

Moi je pars toute l'après-midi donc bah je réfléchirai à la question 4 aprés

3GA+3AG=0
6GG=0 ----> non 3 GG = 0
0=0
donc M et G sont confondus

caractéristique vectorielle :
soit ABC un triangle et G le point de concours de ses médianes.
G est le centre de gravité, et on a :
vectGA + vectGB + vectGC = vect nul
G est aussi appelé l'isobarycentre des sommets du triangle.

je reviens sur ma correction ci-dessus (j'ai confondu les questions, et cela prête à confusion...)

b.GA+GB+GC
= GA+GA+AB+GA+AC
= 3GA+AB+AC --> or AB+AC=3AG, d'après 3a)
= 3GA+3AG
= 3GG
= 0
le principe, ici, est de partir du membre de gauche de l'égalité et d'arriver au membre de droite (vect nul)

c.MA+MB+MC=0
MG+GA+MG+GB+MG+GC=0
3MG+GA+GB+GC=0 or on sait que GA+GB+GC=0 par rapport à la 2.b
3MG=0
MG = vect nul
donc M et G sont confondus

Rédaction de l'exercice 1 :
1.a. A(0,0) B(1,0) C(1,0) A'(1/2,1/2) B'(0,1/2) C'(1/2;0)
b.AA'(1/2,1/2) AM(x-0,y-0) x-y=0
BB'(-1,1/2) BM(x-1,y-0) x+2y-1=0
CC'(1/2,-1) CM(x-0,y-1) 2x+y-1=0
2.a.Le point G est à l'intersection de(AA') et de (BB').
Les coordonnées vérifient donc les 2 équations, d'où y=y'
y=x y'=-1/2x+1/2

x=-1/2x+1/2
x+1/2x=1/2
3/2x=1/2
x=(1/2)/(3/2)
x=2/6
x=1/3

Comme y=x alors les coordonnées du point G(1/3,1/3)
b.On remplace les termes de l'équation cartésienne pour savoir si il appartient à la droite. 2*1/3+1/3-1=0
2/3+1/3-1=0
3/3-1=0
1-1=0
0=0
G appartient à la droite CC'
Nous venons de démontrer le théorème des milieux.
3.a.AG=1/3AB+1/3AC 3AG=AB+AC
(tout ce qui suit est en vecteurs)
b.GA+GB+GC
= GA+GA+AB+GA+AC
= 3GA+AB+AC --> or AB+AC=3AG, d'après 3a)
= 3GA+3AG
= 6GG
= 0
c.MA+MB+MC=0
MG+GA+MG+GB+MG+GC=0
3MG+GA+GB+GC=0 or on sait que GA+GB+GC=0 par rapport à la 2.b
3MG=0
MG = vect nul
donc M et G sont confondus

caractéristique vectorielle :
Soit ABC un triangle et G le point d'intersection des médianes.
G est le centre de gravité, et on a :
vectGA + vectGB + vectGC = vect nul
G est aussi appelé l'isobarycentre des sommets du triangle.

4.tout est en vecteur

AG+GD+BG+GE+CG+GF=O
GD+GE+GF=-GA-GB-GC or GA+GB+GC=0 donc le triangle DEF et ABC ont le même centre de gravité.

Exercice 2:

1.C(0,0) B(1,0) A(0,-1) B'(0,-3/4) C'(1/3,-3/4)

Coordonnées sont elles exactes ?

4.
AG+GD+BG+GE+CG+GF=O
GD+GE+GF=-GA-GB-GC or GA+GB+GC=0 donc ---> il manque un intermédiaire dans ta démonstration.....
donc GD+GE+GF=0
donc G est aussi le centre de gravité de EDF...

le triangle DEF et ABC ont le même centre de gravité.

rxercice 2
je n'ai eu le temps de le regarder...
je finis un devoir avec qqn d'autre et je reviens
envoie ce que tu trouves

attention
1.C(0,0) B(1,0) A(0,-1) B'(0,-3/4) C'(1/3,-3/4)
Coordonnées sont elles exactes ?---> non

repère (A;B;C) : A est l'origine du repère

ex2: 1.A(0,0) B(1,0) C(1,0) B'(0,1/4) C'(1/3;0)
2.a. B'C'(1/3,-1/4) B'M(x-1/3,y-0)
1/3y+1/4(x-1/3)=0
1/4x+1/3y-1/12=0
12/4x+12/3y-12/12=0
3x+4y-1=0
b. je ne vois pas comment déterminer la droite BC et j'ai penser à thalès mais pas deux droites parallèles dans le triangle.

ex2: 1.A(0,0) B(1,0) C(1,0) B'(0,1/4) C'(1/3;0)
ok

pour la droite (BC), tu fais comme pour (B'C') puisque tu as les coordonnées

équation (B'C'): 3x+4y-1=0 exact

as-tu trouvé pour (BC)?

2.b.BC(-1,1) BM(x-1,y-0) x-1+y=0
c.je vois pas comment les déduire ?

x-1+y=0 ---> préfère l'ordre x+y-1=0

c) regarde ton point A'
sur quelles droites se trouve-t-il?

elle est sur la droite BC. x+y=1 donc x=1/2 et y=1/2 ?

elle est sur la droite BC. x+y=1 ----> oui
donc x=1/2 et y=1/2 ----> non, tu ne peux pas déduire ça!

il faut trouver x et y, soit 2 inconnues
il faut trouver une autre équation : regarde mieux : sur quelleS droiteS se trouve a'

x+y=1 et 4y+3x=1 donc 1/4y+3/4x=0 donc A'(3/4,1/4)

a. comment on va déterminer les droites delta 1,2et 3

x+y=1 et 4y+3x=1 donc 1/4y+3/4x=0 donc A'(3/4,1/4):
tu as fait une erreur de signe : -4y+3x=1
tu dois trouver A' (3;-2)

delta 1 :
passe par A' et // à l'axe des abscisses...

delta 2 :
passe par A' et // à l'axe des ordonnées...

delta 3 :
passe par A et // à (BC)---> établir équation droite BC

3b )
coordonnées de E : regarde la définition de E dans l'énoncé
idem pour F

bonjour
as-tu avancé?

Rédaction de l'exercice 1 :
1.a. A(0,0) B(1,0) C(1,0) A'(1/2,1/2) B'(0,1/2) C'(1/2;0)
b.AA'(1/2,1/2) AM(x-0,y-0) x-y=0
BB'(-1,1/2) BM(x-1,y-0) x+2y-1=0
CC'(1/2,-1) CM(x-0,y-1) 2x+y-1=0
2.a.Le point G est à l'intersection de(AA') et de (BB').
Les coordonnées vérifient donc les 2 équations, d'où y=y'
y=x y'=-1/2x+1/2

x=-1/2x+1/2
x+1/2x=1/2
3/2x=1/2
x=(1/2)/(3/2)
x=2/6
x=1/3

Comme y=x alors les coordonnées du point G(1/3,1/3)
b.On remplace les termes de l'équation cartésienne pour savoir si il appartient à la droite. 2*1/3+1/3-1=0
2/3+1/3-1=0
3/3-1=0
1-1=0
0=0
G appartient à la droite CC'
Nous venons de démontrer le théorème des milieux.
3.a.AG=1/3AB+1/3AC 3AG=AB+AC
(tout ce qui suit est en vecteurs)
b.GA+GB+GC
= GA+GA+AB+GA+AC
= 3GA+AB+AC --> or AB+AC=3AG, d'après 3a)
= 3GA+3AG
= 6GG
= 0
c.MA+MB+MC=0
MG+GA+MG+GB+MG+GC=0
3MG+GA+GB+GC=0 or on sait que GA+GB+GC=0 par rapport à la 2.b
3MG=0
MG = vect nul
donc M et G sont confondus

caractéristique vectorielle :
Soit ABC un triangle et G le point d'intersection des médianes.
G est le centre de gravité, et on a :
vectGA + vectGB + vectGC = vect nul
G est aussi appelé l'isobarycentre des sommets du triangle.

4.tout est en vecteur

AG+GD+BG+GE+CG+GF=O
GD+GE+GF=-GA-GB-GC or GA+GB+GC=0 donc le triangle DEF et ABC ont le même centre de gravité.

Exercice 2:

1.A(0,0) B(1,0) C(1,0) B'(0,1/4) C'(1/3;0)
2.a. B'C'(1/3,-1/4) B'M(x-1/3,y-0)
1/3y+1/4(x-1/3)=0
1/4x+1/3y-1/12=0
12/4x+12/3y-12/12=0
3x+4y-1=0
b.BC(-1,1) BM(x-1,y-0) x-1+y=0
x+y=1 et 4y+3x=1 donc 1/4y+3/4x=0 donc A'(3/4,1/4) ---> je vois pas comment tu trouve -4y et A'(3,-2)
3.a. delta 1 :
équation du type y = -2 car A'E passe par A' et est parallèle à l'axe des abscisses
delta 2 :
équation du type x = -3 car A'F passe par A' et est parallèle à l'axe des ordonnées
delta 3 :
vect BC(-1,1) vect BM(x-1,y-0)
x-1+y=0
BC est parallèle à delta 3 et ont dons la même équation de droite par le critère de colinéarité.
b.delta 1 : y=-2 et delta 3 : x+y=1
les coordonnées de E(3,-2) car pour que x-2=1 il faut rajouter 3

delta 2 : x=-3 delta 3 : x+y=1
les coordonnées de F(-3,4)

incohérence mais bon je vois pas autre chose

merci de ne pas copier-coller la totalité chaque fois... seulement la partie en-cours!

3.a. delta 1 : y = -2
delta 2 : x = -3 ---> non pas -3
delta 3 : x-1+y=0 --> mets TOUJOURS sous la forme canonique (ax+by+c=0) ou réduite (ax+b=0)

"BC est parallèle à delta 3" -------> oui
".... ont donc la même équation de droite par le critère de colinéarité." (???) ---> non pas la même équation, sinon elles seraient confondues
en revanche, des droites parallèles ont le même coeff. directeur.

b.pour E : explication fausse et incorrecte :
delta 1 : y=-2
delta 3 : x-y= 0 ---> et non pas 1 : ton erreur vient de là
refais
même erreur pour F

3.a. delta 1 :
équation du type y = -2 car A'E passe par A' et est parallèle à l'axe des abscisses
delta 2 :
équation du type x = 3 car A'F passe par A' et est parallèle à l'axe des ordonnées
delta 3 :
vect BC(-1,1) vect BM(x-1,y-0)
x+y-1=0
BC est parallèle à delta 3 et ont donc le même coefficient directeur qui est a=1
delta 3 à pour coordonnée à l'origine A(0,0) donc l'équation est
1x=y ---> 1x-y=0
b. y=-2 1x-y=0 E(-2,-2)

x=3 x-y=0 F(3,3)

BC est parallèle à delta 3 et ont donc le même coefficient directeur qui est a=1 -> non : -1 (-a/b) à partir de la forme canonique

delta 3 à pour coordonnée à l'origine A(0,0) ----> attention à la formulation : une droite n'a pas de coordonnées
ici, elle PASSE par l'origine A (0,0)

donc l'équation est 1x=y ---> 1x-y=0
non, revois ça : c'est x+y = 0

b. correction:
Les coordonnées de E vérifient les équations des droites delta1 et delta3, donc :
y=-2 et y = -x
d'où -x = -2
x=2
et y = -2 ---> E(2;-2)

reprends sur ce modèle pour F
tu dois trouver (3;-3)

delta 3 :
vect BC(-1,1) vect BM(x-1,y-0)
x+y-1=0
BC est parallèle à delta 3 et ont donc le même coefficient directeur qui est a=1 ---> moi dans mon cours vect u(-b,a)
delta 3 passe à l'origine A(0,0) donc l'équation est
1x+y=0
b. Les coordonnées de E vérifient les équations des droites
delta 1 et delta 3, donc :
y=-2 et y = -x
d'où -x = -2
x=2
et y = -2 ---> E(2;-2)

Les coordonnées de F vérifient les équations des droites delta2 et delta3, donc :
x=3 et x = -y
d'où -y = 3
y = -3
et x = 3 ---> E(3;-3)

4. Les droites (B'E) et (C'F) sont parallèles

euh E(3,-3) ----> F(3,-3)

delta 3 :
vect BC(-1,1) vect BM(x-1,y-0) ---> oui
x+y-1=0 ---> ok, mais précise que c'est l'équation de (BC)

"BC est parallèle à delta 3 et a donc le même coefficient directeur qui est a=1 ---> moi dans mon cours vect u(-b,a)"
----> non attention : tu confonds vecteur directeur u(-b,a)
et coeff directeur : d'une droite = -a/b (dans la forme canonique) donc ici -1

delta 3 passe à l'origine A(0,0) donc l'équation est
x+y=0 ---> oui, et si tu mets cette équation canonique sous la forme réduite (forme y = a'x+b'), tu obtiens : y = -x
et tu retrouves bien ta pente à -1 (= a' sous cette forme)

pour la 4, tu n'as tien démontré !
il faut montrer que les vecteurs de ces droites (trouve leurs coordonnées) sont colinéaires

Exercice 2:

1.A(0,0) B(1,0) C(1,0) B'(0,1/4) C'(1/3;0)
2.a. B'C'(1/3,-1/4) B'M(x-1/3,y-0)
1/3y+1/4(x-1/3)=0
1/4x+1/3y-1/12=0
12/4x+12/3y-12/12=0
3x+4y-1=0
b.BC(-1,1) BM(x-1,y-0) x-1+y=0
x+y=1 et 4y+3x=1 donc 1/4y+3/4x=0 donc A'(3/4,1/4) ---> je vois pas comment tu trouve -4y et A'(3,-2)

tu peux me corriger la question car là je ne sais pas où est l'erreur

ok je regarde en détail

A' est à l'intersection de :
(BC) : y = 1-x --> équ. (1)
et (B'C'): y = -3/4 x +1/4 --> équ. (2)
ses coordonnées doivent donc vérifier les 2 équations.
donc :
-3/4 x +1/4 = 1-x
x( 1-3/4)= 1-1/4
1/4 x = 3/4
x = 4* 3/4
x = 3
d'après équ. (1):
y = 1-x
y = 1-3
y = -2
donc A (3; -2)
est-ce plus clair?

Oui cela est plus clair. Je te remercie de cette patience, de ce travail fournit pour m'aider à comprendre et corriger ces erreurs de calcul, de méthodologie et d'étourdissement. Pour la 4 j'ai conclu en faisant le vecteur B'E et C'F et en prouvant par le calcul qu'il sont colinéaires donc ils sont parallèles.

Encore merci, et continue à faire ça car ça m'a permis de comprendre les questions.

merci beaucoup pour tes encouragements !
si tu as compris, je suis remerciée
à la prochaine :)