DM de maths sur les equations et les vecteurs que je ne comprends pas

Sujet du devoir

Bonjour, pouvez vous m'aider pour ce dm.

Exercice 1:

1- Soit f une fonction trinome sur tous les réels par f(x)=ax^2+bx+c ( a différent de 0 et c trois réels). On note ∆ le discriminant associé à ce trinome et on suppose ∆ ≥ 0. Notons x1 et x2 les deux racines, éventuellement confondues du trinome f. On pose S=x1+x2 et P=x1x2. Démontrer que S=-b/a et P=c/a.

2-Soient x1 et x2 deux nombres réels connus. Notons S leur somme et P leur produit. Démontrer que x1 et x2 sont les solutions de l'équation x^2-Sx+P=0

a- Connaissant la racine x1, calculer la seconde racine x2 des trinomes suivants:

f(x)=3x^2-14x+8 et x1=4 g(x)=7x^2+23x+6 et x1=-3

h(x)=mx^2+(2m+1)x+2 et x1=-2 (m désigne un paramètre réel non nul)

b- Pour chacun des trinomes suivants, trouver une racine x1 entière, comprise entre -2 et 2 (on l'appelle "racine évidente") puis en déduire la deuxième racine.

f(x)=2x^2+11x-13 g(x)=-3x^2-5x+2 h(x)=x^2+(1-√5)x- √5

3-Déterminer les dimensions d'un rectangle dont le perimètre est égal à 252 cm et l'aire vaut 35,69 dm^2

Exercice 2:

David a fabriqué un mobile à installer au-dessus du lit de sa fille. Celui-ci est constitué d'une tige en métal de 40 cm, materialisé par le segment [AB], sur lequel pendent un triangle et un disque à chaque extremité. (voir piece jointe)

Le triangle pèse 1 décagramme et le disque 3 décagrammes.

1-Voulant installer le mobile à un fil attaché au plafond, il accroche le fil au milieu de la tige. Le mobile est-il d'aplomb? Si non, de quel coté penche t'il?

2-David se renseigne alors auprés d'un ami professeur de physique qui lui explique qu'il faut accrocher le mobile en un point G tel que:

m1(vec)GA+m2(vec)GB=(vec)0

ou m1 et m2 sont les masses respectives du triangle et du disque, en décagrammes.

i- Expliquer pourquoi G appartient à (AB)

ii- Exprimer (vec)AG en fonction de (vec)AB

iii-Tracer le segment [AB] à l'echelle 1:10 et y placer G

Exercice 3:

Propriété et définition: Quand on considère deux points distincts A et B du plan et deux réels a et b non nuls tels que leur somme soit aussi non nulle, alors il existe un unique point G vérifiant l'égalité vectorielle:

a(vec)GA+b(vec)GB=(vec)0

On appelle a et b les masses respectives des points A et B. Le point G défini par a(vec)GA+b(vec)GB=(vec)0 est alors appelé barycentre des points pondéres (A;a) et (B;b)

Soient A et B deux points distincts. Soient a, b deux réels tels que a+b≠0. Soit G le barycentre des points pondéres (A;a) et (B;b)

1-Démontrer que, pour tout point M du plan, on a la relation: a(vec)MA+b(vec)MB=(a+b)(vec)MG

2-Un cas particulier: quel est le barycentre des points ponderés (A;1) et (B;1) ? Justifier.

3-Soit k un réel non nul. Soit G' le barycentre des points pondérés (A;k*a) et (B;k*b). Montrer que les points G et G' sont confondus.

4-Soit G le barycentre des points ponderés (A;2) et (B;3).

Dans la suite, on justifiera les étapes de construction. On pourra utiliser des couleurs différentes et une légende pour plus de clarté...

i) Réaliser une figure, en prenant AB=12cm

ii) Placer le point N barycentre des points (A;-26) et (B;-39)

iii) Placer les points P vérifiant l'égalité vectorielle 2(vec)PA+3(vec)PB=1/2(vec)AB

iv)Tracer l'ensemble des points C vérifiant l'égalité: II 2(vec)CA+3(vec)CB II=AB

v) Tracer l'ensemble des points D vérifiant l'égalité: II 2(vec)DA+3(vec) DB II =5DB

Merci

Image concernant mon devoir de Mathématiques