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Sujet du devoir
Le plan est rapporté à un repère othonormé (O;i;j) => vecteurs.On rappelle que dans un tel repère, la distance AB entre deux points A et B est donnée par la formule AB=racine de (Xb-Xa)²+(Yb-Ya)².
1) Soit A(2;3) et M(x;y) deux points du plan. Exprimer AM² en fonction de x et de y.
2) Soit C le cercle de centre A et de rayon 5. Montrer que M appartient à C si et seulement si ses coordonnées satisfont l'équation x²+y²-4x-6y-12=0.
3) Calculer les coordonnées des intersections de C et la droite d : 2x-3y-2=0.
Faites une figure.
4) On voudrait trouver l'équation des tangentes à C passant par le point B(-3;0).
a) Montrez qu'une telle droite ne peut être parallèle à l'axe des ordonnées.
b) m étant un réel quelconque, déterminer l'équation réduite de la droite dm passant par B et de coefficient directeur égal à m.
c)Quelles équations doivent satisfaire les coordonnées (x;y) d'un point appartenant à la fois à C et à dm ?
d) Déterminer les deux valeurs de m pour lesquelles C et dm n'ont qu'un point en commun et en déduire les équations des tangentes à C passant par B.
Où j'en suis dans mon devoir
Je n'ai réussi à faire que les 2 premières questions :1) AM²=(Xm-Ya)²+(Ym-Ya)²
=(x-2)²+(y-3)².
2) (x-2)²+(y-3)²=5²
x²+y²-4x-6y-12=0.
Donc on retrouve bien l'équation qui nous a été donnée..
Pour la 3, je sais qu'elle ne peut pas être parallèle mais je ne sais pas comment le démontrer... :/
Et pour le reste.. 0 ! je n'ai pas compris.. si quelqu'un pouvait m'expliquer svp..
45 commentaires pour ce devoir
Merci de m'avoir répondu.. :).
Donc à partir de 2x-3y-2=0
y = -2x+2/3
Donc j'ai remplacé y par -2x+2/3 dans la première équation mais je me retrouve avec 7x²-24x-44=0 .. je ne suis pas sure que ce soit le bon résultat.. Mais je ne sais pas quoi faire maintenant..
Donc à partir de 2x-3y-2=0
y = -2x+2/3
Donc j'ai remplacé y par -2x+2/3 dans la première équation mais je me retrouve avec 7x²-24x-44=0 .. je ne suis pas sure que ce soit le bon résultat.. Mais je ne sais pas quoi faire maintenant..
non, y=(2/3)(x-1).
tu trouvera une équation de second degré à résoudre pour trouver x.
tu trouvera une équation de second degré à résoudre pour trouver x.
Euh.. ben là je trouve 5/3x²-10x-92/9=0 .. ??
y=(2/3)(x-1) on remplace dans la première équation on trouve
x²+[(2/3)(x-1)]²-4x-6[(2/3)(x-1)]-12=0
<==> x²+[(4/9)(x²-2x+1)]-4x-[4x-4]-12=0
<==> x²+[(4/9)x²-(8/9)x+(4/9)] - 4x - 4x +4-12=0
<==> x²[1+(4/9)]-x[(8/9)-4-4] + (4/9)+4-12=0
(on multiplie par 9)
<==> 13x²-80x-68 =0
Delta = 80²-4*13*(-68) =9936 >0
Donc l'equation a deux solutions distinctes ( ce qui veut dire que la droite coupe le cercle en deux points )
les deux solutions:
x1=(-b+racine(delta))/(2a) = (80+recine(9936)/26 = 6,91 .
x2=(-b-racine(delta))/(2a) = (80-recine(9936)/26 = -0,76 .
les deux points d'intersection entre droite et le cercle sont A(x1,y1)et B(x2,y2) on connu x1 et x2. et on a y=(2/3)(x-1) pour déduire y1 et y2.
x²+[(2/3)(x-1)]²-4x-6[(2/3)(x-1)]-12=0
<==> x²+[(4/9)(x²-2x+1)]-4x-[4x-4]-12=0
<==> x²+[(4/9)x²-(8/9)x+(4/9)] - 4x - 4x +4-12=0
<==> x²[1+(4/9)]-x[(8/9)-4-4] + (4/9)+4-12=0
(on multiplie par 9)
<==> 13x²-80x-68 =0
Delta = 80²-4*13*(-68) =9936 >0
Donc l'equation a deux solutions distinctes ( ce qui veut dire que la droite coupe le cercle en deux points )
les deux solutions:
x1=(-b+racine(delta))/(2a) = (80+recine(9936)/26 = 6,91 .
x2=(-b-racine(delta))/(2a) = (80-recine(9936)/26 = -0,76 .
les deux points d'intersection entre droite et le cercle sont A(x1,y1)et B(x2,y2) on connu x1 et x2. et on a y=(2/3)(x-1) pour déduire y1 et y2.
Ha.. je viens de voir mon erreur merci.. Mais pourquoi multiplier par 9??
On a multiplier les deux cotés de l'équation ( 9*(...)=0*9 )
C'est seulement pour faciliter les calcules
exemple: (1/9)t+1/9=0 on multiplie par 9 les deux cotés et t+1=0 plus simple à manipuler ...
C'est seulement pour faciliter les calcules
exemple: (1/9)t+1/9=0 on multiplie par 9 les deux cotés et t+1=0 plus simple à manipuler ...
D'accord, merci beaucoup pour l'explication.. :)
Peux-tu m'aider pour la suite.. j'ai fait un schéma, et je vois très bien qu'elle ne peut pas être parallèle, mais je ne sais pas comment le démontrer..
Peux-tu m'aider pour la suite.. j'ai fait un schéma, et je vois très bien qu'elle ne peut pas être parallèle, mais je ne sais pas comment le démontrer..
La méthode que j'ai trouvé est celle ci :
tu trouves l'équation de la droite passant par B et parallèle à l'axe des ordonnées. ( Une droite parallèle à l'axe de y a toujours la forme x=constante. c'est quoi cette constante dans notre cas ici? )
Tu dois trouver que cette droite coupe le cercle en deux points distinctes ( Delta > 0 )
tu trouves l'équation de la droite passant par B et parallèle à l'axe des ordonnées. ( Une droite parallèle à l'axe de y a toujours la forme x=constante. c'est quoi cette constante dans notre cas ici? )
Tu dois trouver que cette droite coupe le cercle en deux points distinctes ( Delta > 0 )
Je suis pas sur que ça va marcher. (je trouves que la tangente est parallèle à l'axe de ordonnées!!) Vérifies encore l'énoncé stp
je n'arrive pas à trouver l'équation déjà.. :$ Mais j'ai vérifié l'énoncé, j'ai mis toutes les info que j'avais et ils disent bien de montrer qu'une telle droite ne peut être parallèle à l'axe des ordonnées..
Normalement il devait étre l'axe des abscisses.
Continuons ...
L'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées a toujours la forme x=constante. Puisque cette droite (notant la D1) passe par le point (-3;0) alors D1:x=-3 est l'équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par (-3;0).
Cherchons l'intersection entre D1 et C.
Pour le faire on doit résoudre (comme avant) un système de deux équations à deux inconnus (mais ici très simple):
x²+y²-4x-6y-12=0 et x=-3.
On a déjà la valeur de x (x=-3) on remplace dans la première équation,
elle devient donc (-3)²+y²-4*(-3)-6y-12=0 soit y²-6y+9=0
soit (y-3)²=0 soit y=3 (elle admet une seule solution ).
Donc D1 touche le cercle C en un seul point (-3;3). D1 est donc une tangente.
Donc une telle droite PEUT ETRE parallèle à l'axe des ordonnées (et il l'est, et son équation est D1:x=-3)
Continuons ...
L'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées a toujours la forme x=constante. Puisque cette droite (notant la D1) passe par le point (-3;0) alors D1:x=-3 est l'équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par (-3;0).
Cherchons l'intersection entre D1 et C.
Pour le faire on doit résoudre (comme avant) un système de deux équations à deux inconnus (mais ici très simple):
x²+y²-4x-6y-12=0 et x=-3.
On a déjà la valeur de x (x=-3) on remplace dans la première équation,
elle devient donc (-3)²+y²-4*(-3)-6y-12=0 soit y²-6y+9=0
soit (y-3)²=0 soit y=3 (elle admet une seule solution ).
Donc D1 touche le cercle C en un seul point (-3;3). D1 est donc une tangente.
Donc une telle droite PEUT ETRE parallèle à l'axe des ordonnées (et il l'est, et son équation est D1:x=-3)
Effectivement, elle est parallèle à l'axe des ordonnées.. et donc l'équation de cette droite est bien -3x-9=0 .. ?
Oui mais tu peux l'ecrire aussi comme ça x+3=0.
mais c'est mieux comme ça x=-3 .
mais c'est mieux comme ça x=-3 .
Ha d'accord, merci.. :) Mais la droite que vous appelez D1, c'est la droite Dm nan ?
Mais ce que je ne comprends pas c'est que dans l'énoncé, on dit l'équation des tangentes, mais elles n'ont pas toutes la même équation.. ? Alors comment fait-on pour toutes les trouver..
Mais ce que je ne comprends pas c'est que dans l'énoncé, on dit l'équation des tangentes, mais elles n'ont pas toutes la même équation.. ? Alors comment fait-on pour toutes les trouver..
Ici on a répondu à la question 4.a) on a pas encore Dm... (tu peux l'appeler D1 ou tout autre chose)
elles n'ont pas toutes la même équation puisque elles sont deux tangentes différentes.
Pour les trouver tu réponds au question 4.b) 4.c) 4.d) ce n'est que à la fin que tu les trouvera.
4.b) équation d'une droite est sous la forme y=ax+b
pour trouver a et b on a deux informations : le coefficient directeur est dm et la droite passe par B(-3,0)
c'est quoi a et b? (en fonction de dm)
elles n'ont pas toutes la même équation puisque elles sont deux tangentes différentes.
Pour les trouver tu réponds au question 4.b) 4.c) 4.d) ce n'est que à la fin que tu les trouvera.
4.b) équation d'une droite est sous la forme y=ax+b
pour trouver a et b on a deux informations : le coefficient directeur est dm et la droite passe par B(-3,0)
c'est quoi a et b? (en fonction de dm)
y= dmx+0 puisque b est l'ordonnée à l'origine mais elle ne coupe pas l'axe des ordonnées..
a = dm
b = 0
.. ?
a = dm
b = 0
.. ?
Non.
y=(dm)x+b ça c'est bon.
la droite passe par B(-3;0) donc 0=(dm)*(-3)+b donc b=...
y=(dm)x+b ça c'est bon.
la droite passe par B(-3;0) donc 0=(dm)*(-3)+b donc b=...
Une erreur: à la place de 'dm' c'est 'm' qu'on doit mettre (suivant l'énoncé) désolé.
donc l'équation de la droite de coefficient directeur m et passant par B(-3;0) est y=mx+3m
donc l'équation de la droite de coefficient directeur m et passant par B(-3;0) est y=mx+3m
b = 3(dm).. ?
Ha.. mais b=3m ?? j'avoue que je suis un peu perdue là.. :$
oui c'est bien ce que tu as écris b=3(dm) (avec l'erreur de notation c'est m et non dm )
oui b=3m donc l'équation cherchée est y=mx+3m
c'est bon?
oui b=3m donc l'équation cherchée est y=mx+3m
c'est bon?
Ha d'accord merci, j'ai compris, donc là on a l'équation réduite de la droite dm passant par B et de coefficient directeur égal à m, c'est ça ?
oui c'est bien ça.
Tu peux passer à 1.c)
Tu peux passer à 1.c)
Donc pour la suivante, il faut faire un système d'équations avec x²+y²-4x-6y-12=0 et mx+3m=0 .. ?
Exacte. tu peux passer à la suivante
Pour les systèmes d'équations, on sait que x=-3 nan? donc je remplace x par -3 .. ?
Pour les systèmes d'équations, on sait que x=-3 nan? donc je remplace x par -3 .. ?
non x=-3 c'est l'équation de la droite qu'on a utiliser pour répondre à une question d'avant.
et en plus j'ai pas vu une erreur c'est pas "mx+3m=0 " c'est mx+3m=y
c'est l'équation qu'on a trouvé ( il est différente de mx+3m=0 ).
Le système à résoudre est: y=mx+3m et x²+y²-4x-6y-12=0.
tu remplace y par son expression dans la deuxième équation
x²+y²-4x-6y-12=0 devient x²+... =0
et en plus j'ai pas vu une erreur c'est pas "mx+3m=0 " c'est mx+3m=y
c'est l'équation qu'on a trouvé ( il est différente de mx+3m=0 ).
Le système à résoudre est: y=mx+3m et x²+y²-4x-6y-12=0.
tu remplace y par son expression dans la deuxième équation
x²+y²-4x-6y-12=0 devient x²+... =0
y=mx+3m
x²+(mx+3m)²-4x-6(mx+3m)-12 = 0
<==>x²+9m²+mx²+6mx-4x-6mx-18m-12 = 0
<==>x²+9m²+mx²-4x-18m-12 = 0 .. ?
Olaa je m'embrouille.. je pense pas que ce soit ça.. :$
x²+(mx+3m)²-4x-6(mx+3m)-12 = 0
<==>x²+9m²+mx²+6mx-4x-6mx-18m-12 = 0
<==>x²+9m²+mx²-4x-18m-12 = 0 .. ?
Olaa je m'embrouille.. je pense pas que ce soit ça.. :$
c'est bon Jusque ici x²+(mx+3m)²-4x-6(mx+3m)-12 = 0
<==>x²+9m²+(mx)²+6mx-4x-6mx-18m-12 = 0
<==>x²+m²x² -4x +9m²-18m-12=0
<==> (1+m²)x² - 4x + (9m²-18m-12)=0
( on la met sous forme ax²+bx+c=0)
calculer Delta de cette équation
Delta=b²-4ac = 16 +4*...?
<==>x²+9m²+(mx)²+6mx-4x-6mx-18m-12 = 0
<==>x²+m²x² -4x +9m²-18m-12=0
<==> (1+m²)x² - 4x + (9m²-18m-12)=0
( on la met sous forme ax²+bx+c=0)
calculer Delta de cette équation
Delta=b²-4ac = 16 +4*...?
Delta = 4²-4(1+m)*(9m²-18m-12)
= -18m²-30m+4
..?
J'ai fait un programme sur ma calculatrice pour trouver delta et les racines, et elle me dit que delta = 64, donc il y a 2 racines qui sont -2 et 6. Mais je n'arrive pas à retrouver ce résultat par le calcul..
= -18m²-30m+4
..?
J'ai fait un programme sur ma calculatrice pour trouver delta et les racines, et elle me dit que delta = 64, donc il y a 2 racines qui sont -2 et 6. Mais je n'arrive pas à retrouver ce résultat par le calcul..
J'ai commis une erreur (Vérifies toujours les calculs qu'on te donne!!)
x²+(mx+3m)²-4x-6(mx+3m)-12 = 0
<==>x²+9m²+(mx)²+6m²x-4x-6mx-18m-12 = 0
<==>x²+m²x² +(6m²-6m-4)x +9m²-18m-12=0
<==> (1+m²)x² +(6m²-6m-4)x + (9m²-18m-12)=0
On cherche à calculer son delta mais pas à la résoudre complètement.
Deltat = (6m²-6m-4)² - 4(1+m²)(9m²-18m-12)
Tu le développes complètement et tu le simplifies au maximum.
On cherche m tel que l'équation n'a qu'une seule solution (pour que la droite soit une tangente ).
donc on cherche m pour le quel Delta=0
Tu dois donc résoudre l'équation Delta=0 (après la simplification de l'expression de Delta, elle sera facile à résoudre)
Sois minutieuse dans ces calculs
x²+(mx+3m)²-4x-6(mx+3m)-12 = 0
<==>x²+9m²+(mx)²+6m²x-4x-6mx-18m-12 = 0
<==>x²+m²x² +(6m²-6m-4)x +9m²-18m-12=0
<==> (1+m²)x² +(6m²-6m-4)x + (9m²-18m-12)=0
On cherche à calculer son delta mais pas à la résoudre complètement.
Deltat = (6m²-6m-4)² - 4(1+m²)(9m²-18m-12)
Tu le développes complètement et tu le simplifies au maximum.
On cherche m tel que l'équation n'a qu'une seule solution (pour que la droite soit une tangente ).
donc on cherche m pour le quel Delta=0
Tu dois donc résoudre l'équation Delta=0 (après la simplification de l'expression de Delta, elle sera facile à résoudre)
Sois minutieuse dans ces calculs
Olaa, tous les calculs!! ils m'ont mené à m=8/15 .. ? pitié que ce soit ça..
C'est ce que j'ai trouvé moi aussi.
Donc l'équation de la tangente et y=mx+3m en remplaçant m par 8/15
trace la et vérifie que c'est bien une tangente de C.
Donc l'équation de la tangente et y=mx+3m en remplaçant m par 8/15
trace la et vérifie que c'est bien une tangente de C.
Ben non, elle coupe le cercle en 2 points..
L'équation d'une tangente est y=(8/15)x + 8/5
Tu vérifies avec ta calculatrice si c'est bien une tangente au cercle C.
Tu vérifies avec ta calculatrice si c'est bien une tangente au cercle C.
elle coupe le cercle en 2 point (6.6;5.1) et (-2.3 ; 0.4) .. ?
"Olaa,tous les calculs!! ils m'ont mené à m=8/15 .. ? pitié que ce soit ça" En fait c'est pas ça !! c'est m=-8/15 ( négatif)
tu corriges la suite et c'est bon cette fois ci :)
http://img835.imageshack.us/img835/6073/graphe2.jpg
tu corriges la suite et c'est bon cette fois ci :)
http://img835.imageshack.us/img835/6073/graphe2.jpg
"Olaa,tous les calculs!! ils m'ont mené à m=8/15 .. ? pitié que ce soit ça" En fait c'est pas ça !! c'est m=-8/15 ( négatif)
tu corriges la suite et c'est bon cette fois ci :)
http://img835.imageshack.us/img835/6073/graphe2.jpg
tu corriges la suite et c'est bon cette fois ci :)
http://img835.imageshack.us/img835/6073/graphe2.jpg
Oh merci beaucoup.. :)!!donc l'équation de la tangente est y=(-8/15)x+8/5 ?
Mais il faut trouver les 2 valeurs de m, on a donc -8/15, mais comment fait-on pour trouver l'autre.. ?
Mais il faut trouver les 2 valeurs de m, on a donc -8/15, mais comment fait-on pour trouver l'autre.. ?
Non l'equation de la tangente est donc ( après correction m=-8/15 ; y=mx+3m )
y=(-8/15)x-8/5 .
On a trouvé qu'une seule valeur de m (-8/15). (l'autre c'est +oo)
Si il ya pas erreur dans l'énoncé , il suffit de dire que les deux tangentes sont : y=(-8/15)x-8/5 (celle qu'on a trouvé avec m=-8/15) et x=-3 (celle qu'on a trouvé dans la question précédente )
y=(-8/15)x-8/5 .
On a trouvé qu'une seule valeur de m (-8/15). (l'autre c'est +oo)
Si il ya pas erreur dans l'énoncé , il suffit de dire que les deux tangentes sont : y=(-8/15)x-8/5 (celle qu'on a trouvé avec m=-8/15) et x=-3 (celle qu'on a trouvé dans la question précédente )
D'accord, merci beaucoup! :)
Dis, j'ai une petite démonstration à faire que je n'arrive pas à faire, peux-tu m'aider ?
je dois démontrer que si a<(ou égal) b et c<(ou égal d => a + c < (ou égal) b+d
.. ?
Dis, j'ai une petite démonstration à faire que je n'arrive pas à faire, peux-tu m'aider ?
je dois démontrer que si a<(ou égal) b et c<(ou égal d => a + c < (ou égal) b+d
.. ?
Je supposes qu'on peut utiliser ceci "la somme de deux nombres positifs est un nombre positif"
Soient a,b,c et d des réel tels que a<=b et c<=d.
a<=b ===> 0<=b-a
c<=d ===> 0<=d-c
(b-a) et (d-c) sont deux positifs donc leur somme l'est aussi
0<=(b-a) + (d-c)
===> 0<=b+d -(a+c)
===> a+c<=b+d
c'est clair?
Soient a,b,c et d des réel tels que a<=b et c<=d.
a<=b ===> 0<=b-a
c<=d ===> 0<=d-c
(b-a) et (d-c) sont deux positifs donc leur somme l'est aussi
0<=(b-a) + (d-c)
===> 0<=b+d -(a+c)
===> a+c<=b+d
c'est clair?
une autre démonstration plus simple (Utilises plutôt celle ci )
a<=b ===> a+c<=b+c (on ajoute c des deux cotés)
c<=d ===> b+c<=b+d (on ajoute b des deux cotés)
puisque a+c<=b+c et b+c<=b+d alors a+c<=b+c<=b+d (donc a+c<=b+d )
a<=b ===> a+c<=b+c (on ajoute c des deux cotés)
c<=d ===> b+c<=b+d (on ajoute b des deux cotés)
puisque a+c<=b+c et b+c<=b+d alors a+c<=b+c<=b+d (donc a+c<=b+d )
Ils ont besoin d'aide !
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1) Ok. (une erreur de frappe: c'est Xa à la place du premier Ya )
2) Ok.
3) Pour trouver les point d'intersection entre C et cette droite tu dois résoudre le système de deux équations à deux inconnus:
x²+y²-4x-6y-12=0 et 2x-3y-2=0 .
Voici la méthode: à partir de la deuxième équation tu trouves y en fonction de x.
dans la première équation tu remplaces y par son expression en fonction de x trouvé avant. L'équation devient une équation de second degré à résoudre et tu trouves donc x. tu reviens au deuxième équation pour trouver les y correspondant.
Courage