DM : Etudes de placement à intérêts simple et composés (Suites numérique; Fonctions de référence)

Sujet du devoir

Sujet : Une personne dispose d’une somme de 4 000 € qu’elle veut placer afin d’acquérir dans 18 mois au maximum un ensemble TV home cinéma haute gamme d’une valeur de 4 250 €. Elle se rend chez son banquier pour étudier des propositions de placement. Son banquier lui propose les formules suivantes :
— placer son capital sur un livret rémunérateur au taux mensuel de 0,3 % ; le placement est sûr mais le calcul se fait à intérêts simples ;
— placer son capital dans un système boursier ne lui garantissant pas un taux rémunérateur sûr ; par contre la capitalisation se fait à intérêts composés

Étude du placement à intérêts composés pour une durée de 2 ans
La personne veut connaître le taux annuel de placement qu’elle doit négocier à intérêts composés pour atteindre 4 500 € en deux ans de placement. Elle pense que dans deux ans le matériel qu’elle veut acquérir aura évolué ou augmenté et elle veut se laisser une marge pour son achat. La somme placée est toujours de 4 000 €.

Questions :
1. Écrire la relation entre Cn et t.
2. On pose x = 1 + t et on note f(x) la valeur acquise Cn ; montrer que f(x) = 4 000x².
On veut étudier les variations de f sur [1 ; 1,09].
3. Montrer que l’intervalle d’étude correspond à des taux allant de 0 à 9 %.
4. Quelle est la représentation graphique de la fonction f ? Justifier.
5. Donner son tableau de variation en donnant les détails de tous les calculs et en justifiant la variation de f.
6. La représentation graphique de la fonction f est donnée en annexe 2, déterminer graphiquement en laissant apparent les traits de construction la valeur de x qui permet d’avoir 4 500 € au bout de 2 ans de placement.
7. Déduire de la question 6 le taux annuel de placement à 0,1 % près que doit négocier la personne.

Étude du placement à intérêts simples pour une durée de 2 ans 
La personne fait maintenant la même étude avec un placement à intérêts simples.

Questions :
1. Quelle doit être la valeur des intérêts pour atteindre les 4 500 € en 2 ans ?
2. Montrer que la durée n de placement en fonction du taux t est donnée par la relation : n = 0,125 / t
On assimile cette relation à la fonction g telle que g(x) = 0,125 / x sur [0,03 ; 0,09]
3. Quelle est la représentation graphique de la fonction g ? Justifier.
4. Donner son tableau de variation en donnant les détails de tous les calculs et en justifiant la variation de g.
5. La représentation graphique de la fonction g est donnée en annexe 3, déterminer graphiquement en laissant apparent les traits de construction la valeur de x qui permet d’avoir 4 500 € au bout de 2 ans de placement.
6. Déduire de la question 5 le taux annuel de placement à 0,01 % près que doit négocier la personne.

Où j'en suis dans mon devoir

Etude du placement à intérêts composés pour une durée de 2 ans

1) Cn = 4011,6 (4 000 + 1)¹

T = 1,0029

Le reste des questions, je n'arrive pas . . . J'ai fini toute ma 1ère partie de ce dm mais, je galère un peu pour cette 2ème partie... (désolé pour ce qui ont déjà vu ce dm, c'est parce que j'ai du le remettre pour augmenter ma mise)