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Sujet du devoir
Bonjour, j'ai un DM de maths à faire sur les produits scalaires mais je ne comprends rien.. Nous n'avaons vu jamais vu ça en cours et je suis vraiment bloquée.. Si vous pouviez m'aider ce serait vraiment gentil de votre part.
Soit C un cercle de centre O et de rayon R. Soit D une droite du plan qui coupe le cercle C en deux points disctincts A et B. Soit M un point de D. On définit la fonction f qui au point M associe le réel (vecteur)MA.(vecteur)MB donc f(M)=(vecteur)MA.(vecteur)MB. Ce réel est appelé la puissance du point M par rapport au cercle C.
1. Montrer que f(M) est indépendant de la droite DELTA choisie. On pourra démontrer que f(M)=MO²-R².
2. Calculer f(M) si la droite DELTA est tangente au cercle C.
3. Déterminer la position du point M par rapport à C suivant le signe de f(M).
4. Soit A,B,C et D quatre points du plan tels que les droites (AB) et (CD) sont sécantes en J. Montrer que les points A,B,C et D appatiennent à un même cercle si et seulement si (vecteur)JA.(vecteur)JB=(vecteur)JC.(vecteur)JD
Où j'en suis dans mon devoir
Alors j'ai essayé de commencer la première question, déjà je ne comprends ce que veut dire "indépendant de la droit", j'ai fait des recherches et je pense qu'il faut suivre ce théorème: Soient M un point, Γ un cercle de centre O et de rayon R et (d) une droite orientée passant par M et rencontrant le cercle en A et B. Alors le produit des mesures algébriques de MA et MB est indépendant de la droite orientée choisie et vaut MO² - R². On l'appelle puissance du point M par rapport au cercle Γ et on le note . Mais comment dois-je procéder dans le cadre de mon exercice?
13 commentaires pour ce devoir
C’est déjà super d’être arrivé à la question 4. Je pensais qu’il y aurait des problèmes avant.
Félicitations.
Pour la question 4, la solution est en fin de page 2 : c’est le « Théorème 2 ».
On a 4 points sur un cercle C1, de centre O1 et rayon R1 : A, B, C et D .
(AB) et (CD) se coupent en J.
Donc vect(JA).vect(JB)=JO1²-R1² et vect(JC).vect(JD)=JO1²-R1²
donc vect(JA).vect(JB)=vect(JC).vect(JD)
Donc les 4 points sur un cercle => vect(JA).vect(JB)=vect(JC).vect(JD)
Maintenant, imaginons qu’il existe un autre cercle C2, de centre O2 et rayon R2.
A, B et C sont sur C2 , à partir du même point J, on pose un point D’ qui est l’intersection de la droite (JC) et le cercle C2. donc on peut écrire vect(JA).vect(JB)=vect(JC).vect(JD’)
Donc comme vect(JA) et vect(JB) sont les mêmes, on peut écrire
vect(JA).vect(JB)=vect(JC).vect(JD)=vect(JC).vect(JD’)
vect(JC).vect(JD)=vect(JC).vect(JD’) , comme vect(JC) est le même aussi.
vect(JD)=vect(JD’)
Quant deux vecteurs sont égaux, ils ont même module, même direction.
Quant ces deux mêmes vecteurs ont même origine, cela implique qu’ils ont même extrémité.
Donc D et D’ sont un et un seul même point, ils sont confondus.
Donc si vect(JA).vect(JB)=vect(JC).vect(JD) => A, B, C et D sont sur un cercle unique.
Avez-vous mieux compris ?
1)
Oui c’est la conclusion qu’il faut faire.
2)
P(M)=vect(MA).vect(MB) comme A et B sont confondus vect(MA) = vect(MB)
Donc P(M)=vect(MA).vect(MA)= vect(MA)²=MA²
C’est ce que j’écrierai.
Je vais me permettre d’applaudir en première comprendre ce théorème : Chapeau bas.
Dans la formule à quoi correspond les points I et H?
Est ce qu'il y a une figure?
Désolé j’ai été un peu long pour trouver.
I est le milieu de OO’ et donc K un point de OO’
P(M) par rapport au cercle C
P(M)=MO²-r²
P(M) par rapport au cercle C'
P(M)=MO’²-r’²
Comme on demande que les deux puissances soit égales
MO²-r²=MO’²-r’²
C’est le début , après mettez les r du même côté et le reste de l’autre.
Factorisez les termes en M, vect(O’O) doit apparaître.
Ensuite pour l’autre partie du produit, avec la relation de Chasles exprimez MO et MO’ en passant par K et I et simplifiez.
Evidemment proposez vos calculs
Ha Ha !! non
MO²-MO'²=R²-R'²
Ok , vous voyez il y a déjà un morceau de la formule
MO²=vect(MO)² et MO’²=vect(MO’)²
vect(MO)²-vect(MO')² est de la forme a²-b² , c’est une identité remarquable : quelle est la suite de cette identité remarquable ?
Donc vect(MO)²-vect(MO')² = ????
Pour MO par K et I, je n’ai pas été précis ; je pensais à vect(MO) en passant par K et I:
La relation de Chasles dit que vect(MO)= vect(MK)+vect(KI)+vect(IO)
Arrivez-vous à continuer ?
Tout ce que je vais écrire à partir de maintenant sont des vecteurs
Par exemple pour vect(AB), je vais écrire AB ; c’est juste plus court à écrire.
(vect)MO²-(vect)MO'²=((vect)MO+(vect)MO')((vect)MO-(vect)MO')
Cela donne :
MO²-MO’² = (MO+MO’)(MO-MO’) (c’est des vecteurs, n’oubliez pas)
MO-MO’ = MO+O’M=O’M+MO = O’O d’après la relation de Chasles.
Passons à MO+MO’ :
MO = MK + KI + IO
MO’ = MK + KI + IO’
Donc MO + MO’ = MK + KI + IO + MK + KI + IO’
MO + MO’ = 2MK + 2KI + IO + IO’
Puisque I est le milieu les vecteurs IO et IO’ s’annulent leur sommes est égale au vecteur nul.
Donc MO + MO’ = 2MK + 2KI = 2*(MK+KI)
Donc MO²-MO’² = (MO+MO’)(MO-MO’) = 2*(MK+KI) * O’O = r²-r’²
2*(MK+KI) * O’O = r²-r’²
O’O = - OO’ et KI = - IK
(IK-MK) * OO’ = ( r²-r’² )/2
IK*OO’ – MK*OO’ = ( r²-r’² )/2
Je remets les vect() de partout
vect(IK)*vect(OO’) – vect(MK)*vect(OO’) = ( r²-r’² )/2
Puisque on cherche les points tel que vect(IK)*vect(OO’) = ( r²-r’² )/2,
cela signifie que – vect(MK)*vect(OO’) = vect(0) = 0
un produit scalaire est nul si un des vecteurs est nul , ce n’est pas le cas.
L’autre possibilité est que les deux vecteurs forment un angle droit.
Donc vect(MK) est perpendiculaire à vect(OO’)
Donc les droites (MK) et (OO’) sont perpendiculaire pour les puissances du point M soient égales avec vect(IK)*vect(OO’) = ( r²-r’² )/2
Alors là je ne sais pas comment vous remercier! Il me reste encore une question mais ça me gène de vous redemander une nouvelle fois, je vais essayer de me débrouiller, encore merci !
Pour la question, à vous de voir!
Si c'est : quel est le résultat de 1+1?
c'est bon! je sais = 2
Et si je vous dis que c'est 1x1? Haha ça se corse!! J'aimerais tellement que mes DM soient aussi simples :)
La question est On considère deux cercles sécants C et C' de centres respectifs O et O' et de rayons respectifs R et R'. Montrer que C et C' sont orthogonaux ssi f'(O)=R² (ou f(O)=R'²).
Définition : Deux cercles sécants sont dits orthogonaux si les tangentes en l'un des points d'intersection sont perpendiculaires.
Je trouve ces résultats f(O')=OI²=R'² ou f(O')=OI²=R² mais je ne sais comment justifier. Je les ai trouvés à l'aide d'une figure.
Le problème n’est pas si dur que cela.
On nomme un des points d’intersection des cercles : A
Si on prend O et le cercle C’ , on a (OA) qui est une tangente à C’
D’après la question 2), f ’(O)=OA² mais OA = r donc f ’(O)=r²
Même raisonnement pour l’autre cercle et O’.
Donc (OA) et (O’A) sont des tangentes d’un cercle et le rayon de l’autre.
Une tangente à un cercle est toujours perpendiculaire au rayon donc (OA) et (O’A) sont perpendiculaire.
Bon à cette heure ci, il faut remettre tout dans l’ordre ; là la démo est un peu en vrac.
Ah !
J'ai oublié :
1 * 1 = 1
Bonne nuit
A demain si besoin
Je regarderai tout ça demain, merci bien!
Ils ont besoin d'aide !
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Bonjour,
votre problème est bien corsé, votre prof vous en veux.
Sur ce site, la solution s'y trouve :
http://abdelhafidmohad.free.fr/fichierpdf/Puissancepoint.pdf
s'il y a une étape qui bloque ,je l'expliquerai