DM produit scalaire (presque finis)

Sujet du devoir

Bonjour à tous,

je dois faire un dm qui contient 2 exercices, j'ai déjà pas mal avancé dans le raisonnement, mais j'ai encore des doutes et des difficultés à terminer.
C'est pourquoi j'aurais besoin d'aide.

Je met d'abord les énoncés:

1er exercice:

(o,i,j) est un repère orthonormé, P est la parabole d'équation y=x² et M est un point quelconque de P distinct de O. La perpendiculaire à la droite (OM) passant pas O recoupe P en N. On s'intéresse au "déplacement" de la droite (MN) lorsque M décrit la parabole P privée de O.

On note m l'abscisse du point M avec m inégal à 0.
a)Calculez les coordonnées de N en fonction de m.
b)Démontrez que le vecteur u(-m;1-m²) est un vecteur directeur de la droite (MN)
c)Déduisez-en une équation de la droite (MN)
d)Prouvez que la droite (MN) passe par un point fixe F repéré lors de l'expérimentation. (La 1er partie consisté à reproduire la figure et à faire une conjecture, c'est pourquoi on parle d'expérimentation).

2e exercice:

ABCD est un carré. M et N sont des points de [AB] et [AD] tels que AM=DN. On construit le rectangle AMPN. Démontrez que les droites (CP) et (MN) sont perpendiculaires et que CP=MN.


Ce que j'ai déjà fait:

1er exercice:

a)M(m;m²) ... car il se trouve sur une parabole ... blablabla ... admettons N(n;n²)
On pose le produit scalaire vec OM * vec ON= mn+m²n²=0
mn*1 + mn*mn=0
on factorise: mn(1+mn)=0
donc n= -1/m
Comme N se trouve aussi sur la parabole alors N(-1/m ; 1/m²)

b)On calcule d'abord le vec MN: (XN-XM
YN-YM)
=(-1/m - m
1/m²-m²)
=(-1/m - m(m)/m
1/m²-m²(m²)/m²)
=(-1+m²/m²
(1+m)²(1-m²)/m²)

Ensuite on prouve que le vec u est colinéaire à vec MN. donc ((-1+m/m)²*(-m))-((1+m²)(1-m²)/m²)*(1-m²))=0
Là j'ai des difficultés pour résoudre ce problème, enfin la développer, la réduire ...
Et expliquer pourquoi ce serait un vec directeur de cette droite.

c)L'équation de mn doit etre du type ax²+by+c=0
Donc l'équation de (MN) sera de la forme (1-m²)x+my+c=0

On sait que M est un point de la droite (MN) donc m-m^3+m^3+c=0
Donc c=-m
L'équation de (MN) sera: (1-m²)x+my-m=0

d)A mon avis il faut remplacer les valeurs x, y par (0,1) mais que devient les m ?

Pour l 'ex 2 j'aimerais savoir comment prouver que CP=MN ?
J'ai déjà prouvé l'orthogonalité des droites.

Merci bien de votre aide !

Où j'en suis dans mon devoir

Tout est dis dans le sujet, j'ai indiqué les endroits où je ne comprenais pas, le reste à déjà été fait.