Trigonométrie : angle double et angles moitié

Sujet du devoir

PARTIE A: Angle double; angle moitiés
Exercice 1: On considère un réel x tel que cos x = -4/5
1/ Déterminer les valeurs possibles de sin x
2/ Donner toutes les formules de duplication et en déduire la valeur de cos(2x)
3/ On suppose maintenant que x E(appartient) ]-Pi ;0]. Calculer sin(2x)

Exercice 2: On considère un réel x tel que 2x = (-5Pi/6) [2Pi]
1/ Donner les valeurs exactes de cos(2x) et de sin(2x)
2/ A partir d'une formule de duplication, démontrer que cos²x=1+cos(2x)/2 (formule appelé de linéarisation)
3/ En déduire que cos²x=2-V3/4
4/ Quelles sont alors les valeurs possibles de cos x et de sin x?
5/ Indiquer les solutions dans l'intervalle ]-Pi;Pi]de l'équation 2x=-5Pi/6 [2Pi] (attention au [2Pi]!) et donner les valeurs exactes du cosinus et du sinus de chaque solution trouvée

PARTIE B: Équations trigonométriques
1/ Trouver tous les réels x de l'intervalle I = ]-Pi ; Pi] vérifiant cos x=1/2
2/ Même question : (faire attention à l'intervalle I imposé)
a) cos x = -V3/2 et I = ]-Pi;Pi]
b) cos x = -2 et I = ]-Pi;Pi]
c) cos ²x = 1/4 et I = [0;2Pi]
Pour l'équation c), on cherchera d'abord les valeurs possibles de cos x
d) sin x = -1/2 et I = ]-Pi;Pi]
e) sin x = -V3/2 et I =[0;2Pi]
f) sin²x = 1/2 et I = [0;2Pi[
Pour l'équation f), on cherchera d'abord les valeurs possible de sin x

A RETENIR:
- Méthode pour résoudre les équations du type cos x=cos a où a est un réel connu et x est l'inconnue de l'équation : cos x=cos a équivaut à x=a+2kPi ou x=-a+2kPi avec k E Z
-Méthode pour résoudre les équations du type six x=sin a où a est un réel connu et x est l'inconnue de l'équation : sin x=sin a équivaut à x=a+2kPi ou x=Pi-a+2kPi avec k E Z

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai commencé et j'aimerai savoir si c'est bon:

Ex1:
1/
sin²x=1
1-(-4/5)²
=25/25-16/25
=9/25
donc sin x= V9/25

2/
cos 2a=cos²a-sin²a=2cos²a-1=1-2sin²a
sin2a=2sin a cos a
On en déduit: cos 2x=cos(x+x)=cos x*cos x-sin x*sin x=cos²x-sin²x or cos²x+sin²x=1
sin²x=1-cos² d'où cos2x=cos²x-(1-cos²x)
cos2x=2cos²x-1
cos2x=2*(-4/5)²-1
cos2x=2*16/25-1=32/25-25/25=7/25

3/
x appartient ]-Pi;0], sin x est négatif
sin2x=sin(x+x)=sin x*cos x+sin x*cos x=2sin x*cos x=2*3/5*(-4/5)=6/5*(-4/5)=-24/25

Ex 2:
1/
cos2x=cos(Pi/6-6Pi/6)=cos(Pi/6-Pi)=cos(-Pi+Pi/6)=cos Pi+Pi/6=-cos Pi/6=-(V3/2)²
sin2x=sin(Pi/6-Pi)=sin Pi+Pi/6=-sin Pi/6=-1/2

2/
A partir de la formule cos2x=cos²x-sin²x on a :
cos²x=cos2x+sin²x or cos²x+sin²x=1 donc sin²x=1-cos²x on a donc cos²x=cos2x+1-cos²x
2cos²x=cos2+1
cos²x=(cos2x+1)/2=(1+cos2x)/2 --> CQFD

3/
cos²x=(1+cos2x)/2 donc cos²x=(1-V3/2)/2=(2/2-V3/2)/2=((2-V3)/2)/2
cos²x=(2-V3)/4

4/
cos²x=(2-V3)/4 donc cos x=V(2-V3)/4 donc cos x=-V(2-V3)/4
cos x=V(2-V3)/2 ou cos x=-V(2-V3)/2
sin²x=1-cos²x=1-(2-V3)/4=4/4-(2-V3)/4=(4-2+V3)/4
si²x=(2+V3)/4 d'où sin x = V(2+V3)/4 ou sin x =-V(2+V3)/4
sin x =V(2+V3)/2 ou sin x = -V(2+V3)/2

5/
x=-5Pi/12+4Pi
.avec k=0
x=-5Pi/12+2*0*Pi=-5Pi/12
.avec k=1
x=-5Pi/12+1*Pi=-5Pi/12+Pi=-5Pi/12+Pi/12 donc x=7Pi/12
S={-5Pi/12;7Pi/12}

cos -5Pi/12=cos(-6Pi/12+Pi/12)=cos(-Pi/2+Pi/12) et sin -5Pi/12=sin(-6Pi/12+Pi/12)=sin(-Pi/2+Pi/12) or cos Pi/12=cos Pi/3-Pi/4=1/2*V2/2+V3/2*V2/2=V2/4+V6/4=(V2+V6)/4=(V2(V3+1))/4
sin Pi/12=sin(Pi/3-Pi/4)=V3/2*V2/2-V2/2*1/2=V6/4-V2/4=(V6-V2)/4=(V2(V3-1))/4
cos -5Pi/12 = cos(-Pi/2+Pi/12) or cos (-Pi/2+Pi/12)=cos (Pi/2-Pi/12)=sin Pi/12 d'où cos(-5Pi/12)=(V2(V3-1))/4
sin -5Pi/12=sin(-Pi/2+Pi/12) or sin (-Pi/2+Pi/12)= -sin(Pi/2-Pi/12)= -cos Pi/12= (-V2(V3+1))/4
cos 7Pi/12=cos(Pi/2+Pi/12)= -sin Pi/12 = (-V2(V3-1))/4
sin 7Pi/12 = sin (Pi/2+Pi/12) cos Pi/12 = (V2(V3+1))/4

Il me manque encore la partie B
Merci pour votre aide