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Sujet du devoir
Bonjour bonjour !
J'ai donc un petit DM sur les suites, un peu compliqué que je n'arrive pas terminer. Tous mes amis bloque également la dessus, alors je fais donc appel à vous :D
Voilà l'exercice :
On empile des cubes comme sur l'image ci-dessous, le 1er niveau contenant 4 cubes.
1. Pour tout entier naturel n≥1, on note Un le nombre de cubes au niveau n.
a) Exprimer Un en fonction de n.
b) Déterminer le nombre de cubes au niveau 11.
2. Pour tout entier naturel n≥1, on note Sn le nombre total de cubes du niveau 1 jusqu'au niveau n. À l'aide d'un tableur déterminer S11.
3. Soit (Pn) la suite définie par Pn=1/3n³-1/2n²+1/6n.
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n≥1, Pn+1-Pn=n²
b) À l'aide de l'égalité précédente, démontrer que pour tout entier naturel n≥1, Pn+1=1²+2²+…+n².
c) En déduire que, pour tout entier naturel n≥1, 1²+2²+…+n²= (n(n+1)(2n+1)/6
4. Exprimer Sn en fonction de n. Vérifier la formule obtenue sur le tableur, et retrouver le nombre total de cubes du niveau 1 jusqu'au niveau 11.
Merci beaucoup :)
Image concernant mon devoir de Mathématiques
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai bien sur commencé l'exercice et j'ai réussi les questions 1/2 et 3a.
Je bloque vraiment pour le reste...
Si vous avez besoin d'information supplémentaire n'hésitez pas :D
Merci beaucoup !
19 commentaires pour ce devoir
Alors :
1) a) Un = 4n²
b) U11 = 484
2) Sn = 2² + 4² + ... + 11² = 2024
3) a) Très long calcul, j'ai utilisé les identités remarquables et j'ai trouvé l'égalité : Pn+1 - Pn = n²
La suite je n'y arrive pas...
ok j'ai les mêmes réponses que toi,
je regarde pour la suite
peux tu mettre des parenthèses pour Pn
(1/3) n³ 1/(3n) ³ 1/(3n³ ) ???
Heu oui : Pn = (1/3)n³ - (1/2)n² + (1/6)n
pour 3)b
il faut faire un raisonnement par récurrence
initialisation pour P2 avec cette formule -> (Pn+1=1²+2²+…+n)
P(n+1) =P(1+1) = 1² => p2 = 1
P 2=(1/3)*2^3 - (1/2)*2² +(1/6)*2 = ....
tu vérifies si c'est vrai
puis hérédité
on suppose Pn+1 vraie il faut démontrer P n+2
Bonjour !
(Pn+1=1²+2²+…+n)
P(n+1) =P(1+1) = 1² => p2 = 1
P 2=(1/3)*2^3 - (1/2)*2² +(1/6)*2 = 1
C'est vrai
Comment trouve t-on P(n+2) ?
On a pas vu ça dans le cours...
bonjour,
tu as démontré au 3a) que Pn+1-Pn=n² =>
Pn+1 = P (n) + n² => P(n+2) = p(n+1) + (n+1)²
n devient (n+1) quand on passe de P n+1 à Pn+2
Ahhhh d'accord, merci beaucoup ! Je vais le faire dès que je peux :)
P(n+1)-P(n) =n²
une petite vérification de l'énoncé (n+1) et (n) sont bien les indices de P ?
Oui oui :)
Donc ;
P(n+2)=P(n+1)+(n+1)²
= 1 + (1+1)²
=5 > P3
P3 = (1/3)3^3-(1/2)3²+(1/6)3 = 5
Est-ce que c'est bon, ou je fais fausse route ?
non c'est faux
as tu appris la méthode du raisonnement par récurrence en cours ?
Non, on a pas vu la récurrence, c'est au programme de Terminale je crois....
je ne sais pas quelle est la méthode à employer si tu ne l'as pas fait
P(n+1)-P(n)= n² tu l'as démontré donc c'est vrai => P(n+1) = Pn +n²
P(n+1)=1²+2²+…+n² on suppose vrai donc tu peux t'en servir
il faut démontrer P(n+2)=1²+2²+…+n²+(n+1)²
tu peux écrire P(n+1) = Pn +n² => P(n+2) = P(n+1)+(n+1)² ( en te servant de l'égalité de la question 3a) puis tu remplaces par P(n+1) (car tu l'as supposé vrai)
P(n+2) = = 1²+2²+…+n² + (n+1)² P(n+2) vrai
donc tu conclus que P(n+1) vrai => P(n+2) vrai
je te donne des sites qui expliquent bien le principe de ce raisonnement
http://www.les-bonnes-notes.fr/article-la-recurrence-en-terminale-s-58514038.html
http://www.mathovore.fr/le-raisonnement-par-recurrence-cours-maths-23.php
pour 3 c) des égalités précédentes tu peux déduire que
P(n+1) = P(n)+n² = (1/3)n³-(1/2)n²+(1/6)n + n²
tu réduis au même dénominateur, tu regroupes, puis tu mets (1/6)*n en facteur tu auras (1/6)*n (.....polynome du second degré
tu cherches les racines x1 et x2 avec la méthode delta ....
tu factorises -> a( x - x1)(x -x2) -> formule de ton cours
et tu retrouveras le résultat de l'énoncé
Coucou !
J'ai bien compris pour le 3.b)
Le 3.c) Si je suis ton raisonnement, les racines devraient être -1 et -(1/2) ? Je trouve pas ça...
(2/6)n^3 + (3/6)n² + (1/6)n
(1/6)n (2n² + 3n + 0)
Delta = 9
x1 = -(3/2)
x2 = 0
Après j'ai factorisé
a(x - x1) (x - x2)
(1/6)n(2(n+(3/2))(n-0))
(1/6)n(2n(n+(3/2))
(n(2n²+(3/2)))/6
J'y arrive pas x_x Ça m'énerve...
tu fais une erreur
P(n+1) = P(n)+n² = (1/3)n³-(1/2)n²+(1/6)n + n² réduis au même dénominateur et réduis les calculs
=(2n^3 +3n²+n)/6
on mets n/6 en facteur => n/6 (2n² +3n +1)
méthode delta racines n1 =-1 et n2 =-1/2
a( n - n1)(n -n2) -> formule du cours pour factoriser polynôme quand on a les racines
2( n + 1) ( n +1/2) (a =2)
donc P(n+1) = x/6 * 2(n+1/2) (n+1) = ............
est ce que tu as compris ?
je pense que tu fais une erreur au début, quand tu réduis au même dénominateur
si tu as des questions pour cette partie ou la suivante , n'hésite pas
D'accord, j'ai fait une erreur au début. J'avais bien mis (1/6)n en facteur, mais j'ai mis (1/6)n (2n² + 3n + 0) au lieu de (2n² + 3n + 1), erreur d'inattention -.-"
J'arrive désormais au bon résultat :
P(n+1) = n/6 * 2(n+1/2) (n+1) = (n(2n+1)(n+1))/6
Merci beaucoup pour ton aide !
Pour le 4) Exprimer Sn en fonction de n. Vérifier la formule obtenue sur le tableur, et retrouver le nombre total de cubes du niveau 1 jusqu'au niveau 11.
On sait que :
Un = 4n²
Sn = 4x1²+4x2²+...+4n²
1²+2²+…+n²= (n(n+1)(2n+1)/6
Donc :
Sn = 4(n(n+1)(2n+1)/6
Est-ce juste ?
Merci beaucoup ! :)
oui, c'est juste, c'est très bien
mais tu peux simplifier 4/6 = 2/ 3
de rien, bonne soirée :)
D'accord ! Merci beaucoup pour ton aide !
Ils ont besoin d'aide !
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bonjour,
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