Equation du 2nd degrès a coeffincient complexe

Sujet du devoir

Bonjour,

A- Dans cette partie, on va prouver que tout nombre complexe non nul a deux racines carrées.

1- Soit X+iY un nombre complexe ( X et Y réels).
Quel est le module de X+iY ?



2- Vérifiez que (x+iy)^2 = X+iY équivaut à :
x^2-y^2 = X
2xy=Y
x^2+y^2 = Racine X^2+Y^2


3- Déduisez en l'existence de deux couples (x;y) solution de (x+iy)^2 = X+iY

4- Trouvez les racines carrées de : -3+4i ; -21-20i et -7+24i .

B- Dans cette partie, on va prouvez que toute équation du second degré à coefficients complexes a deux racines.

On note (E) : az^2+bz+c=0 (a différent de 0 ) cette équation. Par factorisation canonique, on obtient :
a[(z+b/a)^2-(b^2-4ac)/(4a^2) ] =0

Delta est un nombre complexe donc, d'après la partie A, il existe deux nombres sigma et - sigma tels que : delta = sigma^2=(-sigma)^2

1- Factorisez az^2+bz+c.
2- Déduisez en les racines de l'équation E.
3- Résolvez chacune des équations du second degré suivantes :
a: z^2+(1+4i)z-5-i=0
b: 2iz^2+(3+7i)z+(4+2i)=0
c: z^2+(1+8i)z-17+i=0

Merci beaucoup de votre aide.

Où j'en suis dans mon devoir

1- Là j'ai trouvé module racine X^2+Y^2
2- réussi egalement .

Je bloque a partir de la question 3, jusqu'à la fin, merci