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Sujet du devoir
Bonjour ,1. Restitution organisée des connaissances
On suppose connues les propriétés suivantes:
• Pour tous réels a, b et k,
si a si a −b .
• La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +00[
Soit f une fonction à valeurs strictement positives, définie sur R. On définit une autre fonction g
sur R par : g(x) = 1- 1/f(x)
a) montrer que, si f est strictement croissante sur un intervalle I, alors g est strictement croissante sur I.
b) montrer que, si f est strictement décroissante sur un intervalle I, alors g est strictement décroissante sur I.
2. Soit g définie sur R par : g(x) = 1- 1/1+x². On note C la courbe représentative de g dans un repère orthonormé (0:i,j)
a) dresser le tableau de variation de g sur R.
b) montrer que pour tout réel x, 0
c) étudier les positions relatives de C et de la parabole d'équation : y = x².
Où j'en suis dans mon devoir
Bonjour ,Je suis bloquée à cette exercice. En 1 a) j'ai fait ceci :
Si f est croissante alors 1/f sera décroissante donc -1/f sera croissante.D'après la propriété " Soit une fonction u définie sur un intervalle I , soit k un nombre réel fixé. Les fonctions u et u+k ont les mêmes variations" . Dans notre situation Soient deux réels a et b de l'intervalle I . Si a
1b) Soient deux réels a et b donc af(b) par suite f(a)+k>f(b)+k soit g(a)>g(b) . Par conséquent f est décroissante. De ce fait si f est décroissante f(x) = 1-1/f(x) le sera aussi. Si f est décroissante 1/f sera croissante donc -1/f(x) sera décroissante.
Honnêtement j'ai l'impression de faire beaucoup de "blabla" et très peu d'application...
2a) fait
et après je bloque pour la 2b) et par conséquent pour la 2c).
Merci d'avance !
8 commentaires pour ce devoir
Poru la suite, je ne vois pas la question 2b)
je voulais dire "pour la suite, la question 2b n'apparait pas dans l'énoncé".
je voulais dire "pour la suite, la question 2b n'apparait pas dans l'énoncé".
Bonjour et Merci Leile pour votre aide !!
Alors pour la 1b) On prend a et b dans I tels que a f(x) décroissante -> f(a) >f(b)
1/f(a)<1/f(b)
-1/f(a)>-1/f(b)
1-1/f(a)>1-1/f(b)
g(a)>g(b) donc g(x) est décroissante .
Pour la 2b) je suis désolée , je pensais qu'il apparaissait dans mon énoncé la voici :
b) montrer que pour tout réel x, 0
Merci beaucoup !!
Alors pour la 1b) On prend a et b dans I tels que a f(x) décroissante -> f(a) >f(b)
1/f(a)<1/f(b)
-1/f(a)>-1/f(b)
1-1/f(a)>1-1/f(b)
g(a)>g(b) donc g(x) est décroissante .
Pour la 2b) je suis désolée , je pensais qu'il apparaissait dans mon énoncé la voici :
b) montrer que pour tout réel x, 0
Merci beaucoup !!
Je rajoute pour la 2b) 0=
Voici mon brouillon du tableau de variation ; http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=615567Image12.jpg
êtes-vous d'accord avec celui-ci ?
Voici mon brouillon du tableau de variation ; http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=615567Image12.jpg
êtes-vous d'accord avec celui-ci ?
1b) ==> impeccable
2b)
ce n'est pas plutot 0<=g(x)<1 ?
regardons d'abord si x>=0
x>=0
x² >= 0
x²+1 >= 1
1/(x²+1) <= 1/1
-1/(x²+1) >= -1
1-1/(x²+1) >= 1-1
g(x) >=0
fais de meme avec x<0
tu auras montré que 0 <= g(x)
ensuite, remarque que 1/(x²+1) >0
donc - 1/(x²+1) <0
et 1 -1/(x²+1) < 1
donc g(x)<1
OK ?
pour la 2c) on étudie la position relative de deux courbes en etudiant le signe de la difference de leurs fonctions.
Ici, tu dois donc etudier le signe de
g(x)-x²
développe l'expression, étudie son signe (avec un tableau de signes si nécessaire).
quand g(x)-x² est <0, la courbe de g(x) est en dessous de la courbe de x²
quand g(x)-x² est >0, elle est au dessus
OK ?
2b)
ce n'est pas plutot 0<=g(x)<1 ?
regardons d'abord si x>=0
x>=0
x² >= 0
x²+1 >= 1
1/(x²+1) <= 1/1
-1/(x²+1) >= -1
1-1/(x²+1) >= 1-1
g(x) >=0
fais de meme avec x<0
tu auras montré que 0 <= g(x)
ensuite, remarque que 1/(x²+1) >0
donc - 1/(x²+1) <0
et 1 -1/(x²+1) < 1
donc g(x)<1
OK ?
pour la 2c) on étudie la position relative de deux courbes en etudiant le signe de la difference de leurs fonctions.
Ici, tu dois donc etudier le signe de
g(x)-x²
développe l'expression, étudie son signe (avec un tableau de signes si nécessaire).
quand g(x)-x² est <0, la courbe de g(x) est en dessous de la courbe de x²
quand g(x)-x² est >0, elle est au dessus
OK ?
Merci beaucoup pour votre aide !
Pour la 2b) c'est 0<(ou égale) g(x)< (ou égale) 1
Voici ce que j'ai fait pour x<0
x<0
x²+1<1
1/x²+1>1/1
-1/x²+1<-1
1-1/x²+1<1-1
soit g(x)<0
Pour la 2c) je bloque pour le développement de l'expression je tombe sur -x^4/1+x² . Est-ce juste ?
Je ne me rappelle plus s'il est possible de simplifier -x^4 et x² ce qui donnerait pour résultat final -x².
Pour la 2b) c'est 0<(ou égale) g(x)< (ou égale) 1
Voici ce que j'ai fait pour x<0
x<0
x²+1<1
1/x²+1>1/1
-1/x²+1<-1
1-1/x²+1<1-1
soit g(x)<0
Pour la 2c) je bloque pour le développement de l'expression je tombe sur -x^4/1+x² . Est-ce juste ?
Je ne me rappelle plus s'il est possible de simplifier -x^4 et x² ce qui donnerait pour résultat final -x².
Bonsoir,
2b) ==> OK pour ce que tu écris.
NB : g(x) n'est jamais égale à 1,
donc je pense que ca doit etre 0 <= g(x) < 1
pour 2c)
ton résultat est correct.
on a -x^4/(1+x²)
etudions son signe : (1+x²) est toujours >0
x^4 est toujours positif (c'est le carré d'un carré) ; x^4 vaut 0 pour x=0 ==>
x^4 >= 0
-x^4 <= 0
donc -x^4/1+x² <=0
on peut conclure que "la courbe de g(x) est toujours en dessous de celle de x², sauf pour x=0, ou les deux courbes ont un point commun."
Pour moi, il n'est pas absolument nécessaire de faire un tableau de signes, mais tu peux en faire un quand meme si tu veux.
x.. ! -oo ... 0 ..... +oo
1+x² ! .... + .1 .. + ...
-x^4 ! .... - .0 .. - ...
g(x)-x²! .. -..0 ..- ...
es tu d'accord ?
2b) ==> OK pour ce que tu écris.
NB : g(x) n'est jamais égale à 1,
donc je pense que ca doit etre 0 <= g(x) < 1
pour 2c)
ton résultat est correct.
on a -x^4/(1+x²)
etudions son signe : (1+x²) est toujours >0
x^4 est toujours positif (c'est le carré d'un carré) ; x^4 vaut 0 pour x=0 ==>
x^4 >= 0
-x^4 <= 0
donc -x^4/1+x² <=0
on peut conclure que "la courbe de g(x) est toujours en dessous de celle de x², sauf pour x=0, ou les deux courbes ont un point commun."
Pour moi, il n'est pas absolument nécessaire de faire un tableau de signes, mais tu peux en faire un quand meme si tu veux.
x.. ! -oo ... 0 ..... +oo
1+x² ! .... + .1 .. + ...
-x^4 ! .... - .0 .. - ...
g(x)-x²! .. -..0 ..- ...
es tu d'accord ?
Merci beaucoup !! J'ai compris !! Je pense tout de même faire un tableau de signes :) .
Ils ont besoin d'aide !
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a)ec que tu écris est juste, tu peux le traduire ainsi :
on prend a et b dans I, tels que a
- 1/f(a) < -1/f(b) (le sens de l'inégalité change encore quand on multiplie par k<0)
1 - 1/f(a) < 1-1/f(b)
g(a) < g(b) ==> g(x) est croissante.
je te laisse faire la 1b)
Poru la suite, je ne vois pas la question 2b)