exercice de maths (un mélange entre la physique et les maths)

Sujet du devoir

Mouvement d'un projectile lancé dans un champ de pesanteur uniforme:

Soit un repère orthonormé (O,I,J) dans lequel on lance un projectile appelé P depuis le point de coordonnées (0 ; h) soumis à une vitesse initiale (vecteur) v indice 0 (v0) selon un angle α avec l'axe (OI) et uniquement soumis à l'accélération de la pesanteur g = 9,81 m/s². On néglige les frottements du à l'air.

Les équations horaires paramétriques du mouvement du projectile sont données par :

{ x(t) = v0(cos α) t

{ y(t) = -1/2gt² + v0 (sin α)t +h

1. Elimination du paramètre t.

Démontrer qu'en éliminant t entre les deux équation horaires, on obtient l'équation cartésienne suivante:

y(x) = - ______g___ x² + tan α +h

             2v0²cos²α

2. On suppose dans cette équation que h = 0

a. Résoudre l'équation y(x) = 0 et en déduire la portée maximale x (indice max) xmax de ce lanceur en fonction de g, v0 et α

b. On suppose que l lanceur est un canon donc la vélocité v0 est fixe. Quel doit etre le réglage de l'angle α pour qu'il ait une portée maximale?

AIDE: On pourra s'aider de la formule sin(α)cos(α) = 1/2 sin(2α).

c. Le projectile est propulsé avec une vitesse initiale de v0 = 333m/s et selon un angle de 45°. Calculer xmax .

d. Expliquer pourquoi ce canon possède en vrai une portée de tire de "seulement" 9300m pour un projectile de 800kg?

3. a. Démontrer que les coordonnées du sommet de la parabole sont :

    (____v0²sinαcosα___ ; ______v0²sin²α____ + h)

                   g                            2g

b. Une batterie antiaérienne tire des obus de 10 kg avec un angle de 90° par rapport à l'horizontale, et une vélocité de 820m/s. Quelle altitude pourrait espérer atteindre l'obus si l'on négligeait les frottements dus à l'air.

Où j'en suis dans mon devoir

1. {x(t) = v0 (cos α) t  => t = x/v0(cosα)

    {y(t) = -1/2gt²+v0(sinα)t+h => y(x) = -1/2g (k/v0 x cosα)² + v0 (sinα)(x/v0 x cos α) +h

On sait que : (___x__)² = ____x²____     d'où y(x) = -1/2g    __x²______ +__v0__

                    v0 x cos α    v0² x cos²α                             v0² x cos²α             v0

 *x* __sinα__ + h                                    y(x) = - __g__ x²+tanα * x +h

           cosα                                                      2*v0²*cos²α                                  

et ____sin α____ = tan α

2. a. xmax en fonction de g, v0 et α

= 1/2 * g/v0²*cos²α x² + tanα =0

=> -1/2 * g/v0²xcos²α x² = -tan α

x² = tan α / g/2*vo²*cos²α = tan α * 2*v0²*cosα / g

b. pour h =0  ici x = xmax

y(x) = - ___g____       x² + tan α = 0

          2*v0*cos²α

=> - _____g____   x² = -tanα

          2*v0²*cos²α

x²= tan α / g/2.v0² *cos²α      => tan α /g/2*v0²*cos²α

=> x² = tan α x 2*v0².cos²α /g

je suis perdue