- Partage ce devoir avec tes amis !
Sujet du devoir
-Trouver le nombre positif tel que la somme du double de ce nombre et de son inverse soit la plus petite possible.Pour résoudre ce problème, on introduira la fonction f(x)=
-Préciser sur quel intervalle cette fonction f est définie (on donnera quelques explications)
-Calculer la dérivée de cette fonction f (on donnera quelques explications)
-Ecrire f'(x) sous la forme d'un seul quotient :
-On considère le nombre 2x²-1. Ecrire ce nombre comme une "différence de deux carrés" (Il est clair que le carré de 1 est 1 mais de quel nombre 2x² est il le carré ?)
-En déduire la factorisation de 2x²-1
-Puis étudier le signe de 2x²-1 en utilisant un tableau de signes
-On revient sur la fonction f. Pouvez vous donner le signe de sa dérivée f'(x) et pourquoi ?
-Donner les variations de la fonction f dans un tableau de variations. Vous rappellerez un des deux théorèmes que vous avez utilisés pour compléter la dernière ligne du tableau.
-D'après votre tableau, quel est le minimum de f sur ]0;+ l'infini[ ?
Donner enfin la solution du problème.
Où j'en suis dans mon devoir
Je suis bloquée à la première étape ! Je n'arrive pas à trouver ce nombre et ne sais sous quelle forme la donner (avec x ou un nombre précis ???)J'en appelle à votre aide pour trouver cette fonction et j'essayerai de me débrouiller pour la suite !
Merci d'avance.
6 commentaires pour ce devoir
Merci de votre aide ! J'ai avancé mais je me retrouve également bloquée un peu plus loin.
On a donc : f(x)=2x+1/x. Cette fonction f est définie sur l'intervalle ]0+l'infini[.
Sa dérivée f'(x)=2-1/x²
Sous la forme d'un seul quotient f'(x)=2x²-1/x²
Avec la différence des carrés (que vous m'avez détaillé), la factorisation de 2x²-1 est (xV2+1)(xV2-1)
On a donc f'(x)= (xV2+1)(xV2-1)/x²
J'ai ici effectué un tableau de signes à 4 lignes (avec f'(x) en dernière ligne)or je ne comprends pas ce qu'il est demandé ensuite : "On revient sur la fonction f. Pouvez vous donner le signe de sa dérivée f'(x) et pourquoi ?"
On a donc : f(x)=2x+1/x. Cette fonction f est définie sur l'intervalle ]0+l'infini[.
Sa dérivée f'(x)=2-1/x²
Sous la forme d'un seul quotient f'(x)=2x²-1/x²
Avec la différence des carrés (que vous m'avez détaillé), la factorisation de 2x²-1 est (xV2+1)(xV2-1)
On a donc f'(x)= (xV2+1)(xV2-1)/x²
J'ai ici effectué un tableau de signes à 4 lignes (avec f'(x) en dernière ligne)or je ne comprends pas ce qu'il est demandé ensuite : "On revient sur la fonction f. Pouvez vous donner le signe de sa dérivée f'(x) et pourquoi ?"
je suis d'accord sur tout ce que tu écris..
précise bien pourquoi x doit etre different de 0
on arrive à
2x²-1 = (xV2+1)(xV2-1)
on te demande "étudier le signe de 2x²-1 en utilisant un tableau de signes"
tu as donc fait un tableau avec x variant de -oo à +oo en passant par -1/V2 et 1/V2
une ligne pour (xV2+1)
une ligne pour (xV2-1)
la derniere pour le produite des deux, donc pour 2x²-1
ENSUITE seulement, on a "On revient sur la fonction f. Pouvez vous donner le signe de sa dérivée f'(x) et pourquoi ? "
tu as montré que f'(x) = (2x²-1)/x²
le dénominateur est toujours positif (un carré est toujours >=0 et x est different de 0) donc x²>0
ce qui fait que f'(x) a le meme signe que son numerateur, donc le meme signe que (xV2+1)(xV2-1) SUR l'intervalle ]0;+oo[
tu vois ?
précise bien pourquoi x doit etre different de 0
on arrive à
2x²-1 = (xV2+1)(xV2-1)
on te demande "étudier le signe de 2x²-1 en utilisant un tableau de signes"
tu as donc fait un tableau avec x variant de -oo à +oo en passant par -1/V2 et 1/V2
une ligne pour (xV2+1)
une ligne pour (xV2-1)
la derniere pour le produite des deux, donc pour 2x²-1
ENSUITE seulement, on a "On revient sur la fonction f. Pouvez vous donner le signe de sa dérivée f'(x) et pourquoi ? "
tu as montré que f'(x) = (2x²-1)/x²
le dénominateur est toujours positif (un carré est toujours >=0 et x est different de 0) donc x²>0
ce qui fait que f'(x) a le meme signe que son numerateur, donc le meme signe que (xV2+1)(xV2-1) SUR l'intervalle ]0;+oo[
tu vois ?
Je n'ai toujours pas su trouver ni expliquer le signe de f'(x) mais j'ai avancé :
J'ai ensuite effectué un tableau de variations en rappelant que :
Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
Enfin, la dernière étape : le minimum de f sur ]0;+l'infini[ est :
f=2x+1/x, soit x=1 :
f(1)= 2x1+1/1= 2+1= 3
On peut maintenant donner le signe de la fonction f qui est positif. 3 est le minimum de f sur ]0;+l'infini[ donc f est positive sur ]0;+l'infini[.
J'ai ensuite effectué un tableau de variations en rappelant que :
Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
Enfin, la dernière étape : le minimum de f sur ]0;+l'infini[ est :
f=2x+1/x, soit x=1 :
f(1)= 2x1+1/1= 2+1= 3
On peut maintenant donner le signe de la fonction f qui est positif. 3 est le minimum de f sur ]0;+l'infini[ donc f est positive sur ]0;+l'infini[.
Pour expliquer le signe de f'(x), reprends mon post :
tu as montré que f'(x) = (2x²-1)/x²
le dénominateur est toujours positif (un carré est toujours >=0 et x est different de 0) donc x²>0
ce qui fait que f'(x) a le meme signe que son numerateur, donc le meme signe que (xV2+1)(xV2-1) SUR l'intervalle ]0;+oo[
tableau de variations : OK
pour x variant sur ]0;+oo[
enfin la dernière étape ==> là tu te trompes.
le minimum de la fonction est atteint quand la derivée s'annule.
Ici, f'(x) = 0 pour x=1/V2
donc il faut que tu calcules f(1/V2)
f(1/V2) = 2/V2 + V2 = 2/V2 + 2/V2 = 4/V2 = 4V2/2 = 2V2
le minimum (1/V2 ; 2V2)
donc en effet, f est positive sur l'intervalle
OK ?
tu as montré que f'(x) = (2x²-1)/x²
le dénominateur est toujours positif (un carré est toujours >=0 et x est different de 0) donc x²>0
ce qui fait que f'(x) a le meme signe que son numerateur, donc le meme signe que (xV2+1)(xV2-1) SUR l'intervalle ]0;+oo[
tableau de variations : OK
pour x variant sur ]0;+oo[
enfin la dernière étape ==> là tu te trompes.
le minimum de la fonction est atteint quand la derivée s'annule.
Ici, f'(x) = 0 pour x=1/V2
donc il faut que tu calcules f(1/V2)
f(1/V2) = 2/V2 + V2 = 2/V2 + 2/V2 = 4/V2 = 4V2/2 = 2V2
le minimum (1/V2 ; 2V2)
donc en effet, f est positive sur l'intervalle
OK ?
OK ?
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
"Trouver le nombre positif tel que la somme du double de ce nombre et de son inverse soit la plus petite possible.
Pour résoudre ce problème, on introduira la fonction f(x)=
"
Trouver le nombre positif : ==> soit x>0 tel que
"la somme du double de ce nombre et de son inverse"
le double de x, c'est 2x
l'inverse de x c'est 1/x
la somme des deux c'est 2x + 1/x
donc f(x)=2x + 1/x
d'accord ??
NB :
le carré de 1, c'est 1, c'est OK
x² est le carré de x
2 est le carré de V2 (je mets V ppour racine)
donc 2x² est le carré de xV2
tu peux verifier en calculant (xV2)² ==> tu dois trouver 2x²