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Sujet du devoir
1) demontrer que la fonction f est convexe si,et seulement,si la fonction f' est croissante sur I;soit f une fonction convexe et soit a appertenant a I . posons pout tous réel x de I:(x)=f(x)-[f'(a)(x-a)+f(a)].
3) quelle interpretation graphique peut on faire de la fonction a ?
4) etudier les variations de la fonction a sur I et demontrer que la fonction a admet un minimum en a =0
?
5) que peut on dire a propos de la position relative de la courbe d'une fonction convexe et de ses tangentes?
6) demontrer qu'une fonction trinome du second degré est soit convexe soit concave sur . aquell condition est elle convexe , a quelle condition est elle concave .
7) demontrer que la fonction racine carrée est concave sur ]0;+ [
8) de la meme facon etudier la convexité d'une fonction homographique sur chacun des deux intervales ]-;-d/c[ et ]-d/c;+[
Où j'en suis dans mon devoir
Je suis bloqué au début j'aurais besoin d'explication sur les premieres questions pour pouvoir continuer les autres questions12 commentaires pour ce devoir
-La premiere réponse je l'avais.
-La deuxième j'ai fais la dérivée mais pour étudier son signe je ne sais pas comment faire. J'ai ça la A'(x)=f'(x)-f'(a)
- Il faut démontrer que la fonction A(a) admet un minimum en a qui vaut 0.
-La deuxième j'ai fais la dérivée mais pour étudier son signe je ne sais pas comment faire. J'ai ça la A'(x)=f'(x)-f'(a)
- Il faut démontrer que la fonction A(a) admet un minimum en a qui vaut 0.
A'(x)=f'(x)-f'(a) ok
on étudie le signe de cette dérivée sur I:
A'(x) < 0 <==> A est décroissante
A'(x) = 0 <==> tangente horizontale
A'(x) > 0 <==> A est croissante
lorsque la dérivée s’annule, la fonction change de sens de variation ---> on a donc un minimum pour
f'(x)=f'(a) <==> x=a
et on vérifie que A(a) = f(a)-[f'(a)(a-a)+f(a)] = 0
on étudie le signe de cette dérivée sur I:
A'(x) < 0 <==> A est décroissante
A'(x) = 0 <==> tangente horizontale
A'(x) > 0 <==> A est croissante
lorsque la dérivée s’annule, la fonction change de sens de variation ---> on a donc un minimum pour
f'(x)=f'(a) <==> x=a
et on vérifie que A(a) = f(a)-[f'(a)(a-a)+f(a)] = 0
Pour vérifier on dit que [f'(a)(a-a)+f(a)]=f(a) donc f(a)-f(a)=0
si tu veux..
sinon
A(a) = f(a)-[f'(a)(a-a)+f(a)]
= f(a) - [[f'(a) * 0 )+f(a)]
= f(a) - f(a)
= 0
sinon
A(a) = f(a)-[f'(a)(a-a)+f(a)]
= f(a) - [[f'(a) * 0 )+f(a)]
= f(a) - f(a)
= 0
5)A propos de la position relative de la courbe d'une fonction convexe et de ses tangentes, on peut dire qu'elle dépend du nombre x
je viens de voir que j'ai fait une erreur d'interprétation dans mon explication au début:
"a(x) représente donc graphiquement la distance horizontale entre f(x) et la droite tangente en a." --->
il s'agit de la distance VERTICALE entre la courbe et la tangente.
excuse-moi pour cette confusion.
rassure-toi cela ne change pas tes résultats !
je continue :
5) puisque la fonction A admet un minimum =0, cela signifie que la fonction A(x) est toujours >=0
et donc...
"a(x) représente donc graphiquement la distance horizontale entre f(x) et la droite tangente en a." --->
il s'agit de la distance VERTICALE entre la courbe et la tangente.
excuse-moi pour cette confusion.
rassure-toi cela ne change pas tes résultats !
je continue :
5) puisque la fonction A admet un minimum =0, cela signifie que la fonction A(x) est toujours >=0
et donc...
Et donc la courbe d'une fonction convexe est toujours >=0
courbe d'une fonction convexe est toujours >=0 ... non pas la courbe de la fonction convexe, mais la courbe de A.
la réponse attendue n'est toutefois pas celle là :
A(x) > 0 <==>
f(x)-[f'(a)(x-a)+f(a)] >0 <==>
f(x) > [f'(a)(x-a)+f(a)]
--> quelle est la position relative de la courbe de f par rapport à celle de la tangente?
la réponse attendue n'est toutefois pas celle là :
A(x) > 0 <==>
f(x)-[f'(a)(x-a)+f(a)] >0 <==>
f(x) > [f'(a)(x-a)+f(a)]
--> quelle est la position relative de la courbe de f par rapport à celle de la tangente?
La courbe f est au dessus de celle de la tangente.
exact.
je reviens demain voir si tu as des questions.
a+
a+
Ils ont besoin d'aide !
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a(x)=f(x)-[f'(a)(x-a)+f(a)]
dans f'(a)(x-a)+f(a) on reconnait l'expression de l'équation de la tangente à f au point d'abscisse a
---> ya = f'(a)(x-a)+f(a) est une droite
donc a(x) représente donc graphiquement la distance horizontale entre f(x) et la droite tangente en a.
4) etudier les variations de la fonction a sur I
---> développe a(x)
et dérive cette fonction
puis étudie son signe
démontrer que la fonction a admet un minimum en a =0 ---> tu es sûr de "a=0"?