Fonctions variations et dérivées

bonjour Paprika,

tu as pratiquement tout fait ! :))))
question 1)
f'(x) = 2x +1 - 1/x²
comme tu l'as écrit en q3, c'st aussi égal à (2x^3+x²-1) / x²

==> f'(x)=g(x)/x²
avec x>0

or x² est toujours >0,
donc f'(x) a le signe de g(x) ==> f'(x) et g(x) sont de meme signe.

OK ?

Q2 : OK

Q3 : puisque f'(x) = g(x)/x²
tu sais que f'(x) a le meme signe que g(x), et tu as précisé le signe de g(x) en fonction de a,
donc tu peux etudier le signe de f'(x) en fonction de a

et terminer...

d'accord ?

Bonjour Leile,

Merci pour ton aide, je désespérais un peu

Pour la question 1 j'étais génée par le fait de demander le "signe" d'une dérivée f' et d'une fonction g. Puis j'ai relu "les nombres" mais je pensais que je devais donner ce signe (+ ou -)

Pour la question 2 tu trouves que mon tableau de variation est bon ? je l'ai fait de -inf à +inf, alors que le domaine donné dans l'exo est ]0;+inf[ . Ca me genait . D'autre part, je peux repondre qu'une fonction (ici g) est positive, bégative ou nulle et dire qu'elle est au-dessus ou en dessous d'un axe ? Je pensais qu'on parlait plutot de variations pour les fonctions

Question 3
j'ai le même pb avec le tableaus de vaiations de f ( je comprends ton raisonnement mais sous forme de tableau c'est impossible a expliquer)

Et pour Q3 pourquoi tu me demandes d'etudier le signe de f' en fonction de a ?

hello !

question 1 : il faut juste dire qu'ils sont de meme signe,
sans préciser si c'est + ou -

question 2 : je me suis posé la question aussi du domaine de definition, je ne savais pas si c'était dans l'énoncé, ou si ca venait d'une question précedente.. ==> si dans l'énoncé, on précise ]0;+oo[, alors le tableau est restreint à cet intervalle.

dans ton tableau, tu as donc une flèche montante (c'est la variation).
pour la valeur x=a, sur cette flèche tu indique la valeur 0

pour moi, sur le tableau, c'est suffisant.
ensuite, tu peux donner une précision, comme tu le fais, en indiquant que puisque la fonction est strictement croissante sur cet intervalle, et qu'elle admet une seule racine a sur cet intervalle, alors g(x) < 0 pour x g(x) > 0 pour x>a

question 3 :

dans ton tableau :
x ! 0 ..... a ...... +oo

g(x)....-...0....+......
donc
f'(x)...-...0 ...+...... (avec x=0 valeur interdite)

f(x) decroi.0. croiss..

tu vois ?

Oui Leile dans la Q2 on demande d'étudier les variations de g sur [0;+inf[ donc mon tableau est trop grand ? ou bien je peux quand même le donner de -inf à +inf et je réponds pour l'intervalle 0;+inf ?

Q3 = dresser le tab de variations de f sur ]0;+inf[ Pourquoi fais-tu intervenir a ?

Q2 : perso, je presenterais sur [0;+oo[

Q3 : d'habitude, pour etudier les variations de f(x),
tu étudies le signe de f'(x), n'est ce pas ?
c'est ce qu'on fait ici aussi, mais plutot que de refaire un calcul, on utilise les resultats des questions précedentes.

les questions précécedentes : en Q1, on a dit que le signe de f'(x), c'est celui de g(x),
et en Q2 on a étudié le signe de g(x) ==> on a montré que g(x) change de signe pour x=a,
donc f'(x) change de signe pour x=a

et pour x=a, le sens de variation de f(x) changera ..
tu vois ?

Je vois pourquoi tu parles de a
voila mon taleau pour f

x 0 a +inf

g(x) - 0 +

g(x)/x² - 0 +

f(x) decr. f(a) crois.


Est-ce que c'est correct ?

Je dois aller à table; je me remets au travail après

Merci pour ton aide Leile. L'ex n'est pas terminé, est ce que tu seras là cet aprem ?

dans ton tableau, indique la ligne avec f'(x) au lieu de g(x)/x²
(c'est comme ca que tu montres que tu as compris comment on utilises les questions d'avant)
et n'oublie pas la valeur interdite 0


Oui, je reviens cet après'm !

Bon appétit,

excuse-moi je n'ai pas eu ta reponse à 12.33 avant d'envoyer ma derniere reponse. Tes explications sont très claires donc montableau doit être bon.

J'ai bien rajouté la valeur interdite pour f'(x) .Excuse moi pour le tableau illisible (quand je le tape ca va mais apres qd il est posté il est tout écrasé.

Voici les 2 dernières questions du pb

4 / On désigne par C la courbe repres. de f ds un repère ortho.
a - déterminer une équation de la tangente (T) à C au point A d'abcsisse 1.
b - Etudier la position de C par rapport à (T) suivant les valeurs de x en montrant qu'elle dépend du signe de (x-1)(x²-1)/x

5 / Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe C (on prendra 2/3 comme valeur approchée de a).

Voila je suis dessus et je te communique mes resultats des que j'ai fini

voila ce que j'ai :

4 / a - est-ce que je peux repondre en disant directement (ou je dois le demontrer) que la T au point A d'absisse 1 a pour équation

y = f'(xA)(x - xA) + f(xA)
D'ou y = 2(x-1) + 3
d'ou y = 2x+1 eq de la tangente (T)

b - pour étudier la position de C / à T il faut étudier le signe de la différence f(x) - y

x²+x+1/x - (2x+1) = x² + x + 1/x - 2x - 1
= x² + 1/x -x -1
= (x^3 + 1 - x² - x)/x
= (x^3 - x² - x + 1)/x

Je ne sais pas aller de cette fraction à celle du texte mais je vois que si je developpe celle de l'enonce je trouve cette fraction ci dessus ! comment faire ?

Pour etudier le signe de l'expression je fais un tableau de signes mais en restant sur quel ensemble ? ]0;+inf[ ?

Si je considère cet ensemble ]0;+inf[
je fais le tableau de signes suivant :

x 0 1 +inf
(x - 1) - 0 +
(x² - ) - 0 +
()() + 0 +
()()/x || + 0 +

donc f(x) - y > 0 ce qui implique f(x) > y
La courbe C est toujours au dessus de la tangente T

5 / pour la derniere question je dois me servir de tous les resultats ? pourquoi a ?

4a)
tu peux utiliser la formule
on a donc y=f'(1) (x-1)+f(1)
donc oui l'equation de T est y=2(x-1)+3
==> y =2x +1

c'st bon pour moi.

je regarde la suite et je reviens.

4b)

ce que tu ecris est juste
f(x)-y = (x^3 - x² - x + 1)/x

OR (x-1)(x²-1)= (x^3 - x² - x + 1)

donc pour x>0
(x-1)(x²-1)/x = (x^3 - x² - x + 1)/x
et f(x)-y = (x-1)(x²-1)/x

tu fais ton tableau de signes sur l'intervalle ]0;+oo[
c'est d'accord,
tu peux préciser que (x-1)(x²-1) admet 2 racines, mais qu'on ne retient pas x=-1 qui est en dehors de l'intervalle de def. de f
ce que tu ecris dans ton tableau est juste;

tu peux aussi remarquer que
(x-1)(x²-1) = (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)²(x+1)
donc le numerateur est toujours >0
le denominateur aussi ==> f(x)-y >0 ==> C est toujours au dessus de T dans cet intervalle.

il y a un truc qui me semble bizarre..
je résume l'exercice et je reviens, OK ?

5)
dessiner la courbe f(x) :
x varie de 0 exclu à +oo

tu vas dessiner la droite T, tu as le point (1;3) qui appartient à la courbe (point ou elles sont tangentes),
tu sais que la courbe est toujours au dessus de la droite

quand x s'approche de 0, f(x) tend vers +oo

mais tu vas te demander où est le minimum de la courbe ?
on te donne une indication : c'est en x=2/3

OK ?

oui on me dit que 2/3 est la valeur approchée prise pour a , mais là on parle du "a" de la question 2 ? Je fais plus le lien

oui, on parle du a tel que g(x)=0

comme f'(x)=g(x)/x
f'(x) s'annule aussi pour x=a,
donc a est l'abcisse du sommet de la courbe C de f(x)..

tu comprends ?
d'ailleurs, dans ton tableau de variation de f(x), tu as bien noté un minimum pour f en x=a , n'est ce pas ?

Ah oui j'ai un minimum pour f(a) donc je calcule f(2/3)et j'aurai les coord du minimum (2/3; f(2/3))

Pour tracer la courbe :
puisqu'elle est en 2 parties, a ton avis je ne la trace que sur l'intervalle étudié ? Et dans ce cas, je dois faire un tableau de valeurs ou bien est ce que je peux "extrapoler " sa forme d'après les résultats de l'exo ? (minimum, limites à gauch et à droite, tangente)

selon moi, tu la dessines uniquement pour x>0
et tu peux juste utiliser les infos de l'exercice (limites, minimum, tangente)..

si tu veux etre exacte dans ton dessin, tu peux faire le calcul pour une valeur de x (pour savoir si "à droite", la courbe "monte" très vite)
pour x=3, f(x)= 12,3
et x=4, f(x) = 20,25..

je vais stoppper.. as tu d'autres questions ?

non l'exercice est terminé et je vais le rédiger proprement . Merci bp Leile , je te souhaite un bon dimanche .
Je continue mon devoir. A bientôt et merci encore pour tes explications

je t'en prie !
bon dimanche a toi aussi,
à une prochaine fois.