Les vecteurs

Sujet du devoir

Partie A - Calculs vectoriels

1) Faire une figure.
2) a) Montrer que GB = 2GF.

 En déduire que GC= 2GK
et que G, K et C sont alignés.

b) Montrer que GK = 1/2GB + AB + BE.

 
 
 

En déduire que GK = 2GM

 et que G, M et K sont alignés.

c) En déduire que les points G, M, K et C sont alignés.

3) Montrer que FD =4FM.

 
En déduire que les droites (BE) et (DF) se coupent en M.

Partie B - Avec des coordonnées

1) Pourquoi les vecteurs AB et AD forment-ils une base du plan ?

2) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G, K et M dans le repère (A, AB, AD) .


3) Montrer que les points G, M, K et C sont alignés.
4) Déterminer une équation de la droite (DF). En déduire que les droites (BE) et (DF) se coupent en M.

Où j'en suis dans mon devoir

Bonjour, voila,

j'ai déja fait tous l'exercice du A sauf la figure... et je n'aarive pas à faire le petit 4 de la partie B :

1) ????

2) A) GC = GA + AC
= -(1/3) AB + AB + AD car AC = AB + AD puisque ABCD est un parallélogramme
= (2/3) AB + AD

GK = GF + FK
= GA + AF + FK
= (-1/3) AB + (2/3) AB + AE puisque FK = AE car AFKE est un parallélogramme
= (1/3) AB +(1/2) AD puisque E milieu de [AD] donc AE = (1/2)AD
= (1/2) [(2/3) AB + AD]
=(1/2) GC
donc GC = 2GK et, ainsi, les points G K et C sont alignés.

B) GB = GA + AB
GB = -1/3 AB + AB
GB = 2/3 AB

2GF = 2(GA + AF)
2GF = 2GA + 2AF
2GF = 2 x (-1/3AB) + AB
2GF = -2/3 AB + AB
2GF = 1/3AB
Donc :

GK = (1/3) AB +(1/2) AD
(1/2) GB + AB + BE = (1/2)(2/3)AB + AB + BA + AE = (1/3) AB + (1/2)AD
Ainsi :

GK = (1/2) GB + AB + BE
2GM = GB + GE puisque M est le milieu de [BE]
= GB + GA + AE
=GB - (1/2) GB + AB + BE puisque GA=-(1/2) GB
= (1/2) GB + AB + BE
donc
GK = 2GM
Et les points G, K et M sont alignés.

C) Les points G et K sont alignés, les points G, K et C alignés donc les points G, K, M et C sont alignés.

3) FD = FA + AD
= -(2/3) AB + AD

FM = FA + AM
= -(2/3) AB +(1/2) (AB+AE) puisque M milieu de [BE]
= (1/2 - 2/3) AB + (1/2) AE
= ((3-4)/6) AB + (1/2) (1/2) AD puisque AE = (1/2) AD puisque E milieu de [AD]
= -(1/6) AB + (1/4) AD
donc :
4FM = -(4/6) AB + (4/4) AD
= -(2/3) AB + AD
donc FD = 4FM

Ainsi, M appartient à la droite (DF). Et M appartient aussi à la droite (BE) puisque le point M est le milieu de [BE] donc les deux droite (BE) et (DF) se coupent en M.


Partie B :

1) Les vecteurs AB et AD forment une base du plan car ils ne sont pas colinéaires.

2) A(0;0), B(1;0), C(1;1) D(0;1), E(0;1/2), F(2/3;0), G(1/3;0), K(2/3;1/2), M(1/2;1/4)

3) Il faut commencer par prouver que GM=kGC

GM = GA + AE + EM
= -1/3 AB + ½ AD + ½ AB
= -2/6 AB + 3/6 AB + ½ AD
= 1/6 AB + ½ AD

GC = GA + AD + DC
= -1/3 AB + AD + AB
= -1/3 AB + 3/3 AB + AD
= 1/3 AB + AD

1/6 = k * 1/3
--> k = 1/2

½ = k * 1
--> k=1/2

GM = ½ GC
Ensuite, il faut faire de même pour GK = k'GC
GK = k'GC
= GA + AE + EK
= 1/3 AB + ½ AD + 2/3 AB
= 3/3 AB + ½ AD

GC = 1/3 AB + AD

1 = k' 1/3 --> k' 1/3
½ = k' 1--> k' ½

D’après nos calculs, les points G, M, K et C sont alignés.

4) ????


Merci beaucoup de m'aiderrrrr