Passer d'une suite récurrente à une suite explicite

U_n=(n+1)²

je suppose u0=1 donné

u(n+1) =un +2n +3

=[u(n-1) +2(n-1)+3]+2n+3

etc jusqu'à arriver à uo dans la formule

Ça se voit U_1=2²

U_2=3²

U_3=4²

etc..;

Donc U_n=(n+1)²

On peut le montrer par récurrence:

Initialisation: n=0 ==> U_0=(0+1)²=1, par hypothèse U_0=1, donc c'est vérifié pour n=0.

Hérédité: On suppose à l'ordre n, et on le montre à l'ordre n+1.

U_(n+1)=U_n+2n+3

Par hypothèse U_n=(n+1)² donc:

U_(n+1)=(n+1)²+2n+3

U_(n+1)=n²+2n+1+2n+3

U_(n+1)=n²+4n+4

U_(n+1)=(n+2)²

Donc on a montré à l'ordre n+1, donc pour tout n entier naturel, U_n=(n+1)²