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Sujet du devoir
Bonjour ,
J'ai un exercice sur les produits scalaire mais depuis la seconde j'éprouve des difficultés avec les vecteurs. Voici mon exo :
On considère un triangle ABC rectangle en A, I le milieu de [BC], H le projeté orthogonal de A sur (BC),
P celui de H sur (AB) et Q celui de H sur (AC).
On veut démontrer que (AI) est perpendiculaire à (QP)
1) première méthode
a) Exprimer le vecteur AI en fonction de AB et AC
b) Montrer que AB.AP =AH² .
En déduire une comparaison des produits scalaires : AB.AP et AC.AQ
⋅
c) Calculer le produit scalaire : AI.PQ
⋅ Conclure
2) Deuxième méthode.
On pose AB = b et AC = c On considère le repère orthonormé ( A i j) ,
où i est le vecteur unitaire colinéaire à AB et de même sens, et j est le vecteur unitaire colinéaire à AC et de même sens.
a) Déterminer les coordonnées des points A, B, C et I dans le repère (A i j)
b) Déterminer une équation de la droite (BC). En déduire que les coordonnées du point H sont :
xH= b.c² /(b²+ c²) yH= b².c/(b²+ c²)
c) Déterminer les coordonnées des vecteurs QP et AI. Conclure.
Où j'en suis dans mon devoir
Voici ce que j'ai fait :
Première méthode
1)AB+AC= AI+BI+IC+AI
AB+AC= 2AI+ (BI.IC)
BI.IC= 0 car I milieu de BC
donc AB+AC=2AI
soit AB+AC/2 = 2AI
2)
AB.AP = ( AH+Hp) x (BH+AH)
AB.AP= AH²+AHxBH+ HPxBH +HPx AH
AB.AP=AH² car les autres vecteurs sont orthogonaux
AC.AQ= AH+HQ+HC+AH
AC.AQ= AH² car HQ.HC=0
c) AI.PQ = 1/2(AB.AC) (PA+AQ)
AI.PQ= 1/2(AB.PA +AB.AQ+AC.PA +AC.AQ)
AB.PA=0 et AC.AQ=0
donc AI.PQ = 1/2 (AB.AQ+AC.PA)
Merci d'avance !!
8 commentaires pour ce devoir
2)AB.AP= AH²+AHxBH+ HPxBH +HPx AH
AB.AP=AH² car les autres vecteurs sont orthogonaux --> non,HP et BH ne sont pas orthogonaux ni HP et AH
AP.AB =ap.ab
ok?
détermine ap en utilisant la trigo dans le triangle rectangle AHP et ab dans AHB
D'accord je vais reprendre cette question ! Je doute mais je mets mon raisonnement tout de même : AB.AP= (HB+AH) x (HP+AH) . HP et HB me semble orthogonaux . Le 10/04 Super sans voir votre aide j'avais trouvé qu'ils étaient orthogonaux !! Et je me suis corrigée pour celui cité si dessus !
non c'est AH et HB qui sont orthogonaux ainsi que HP et AB
c) AI.PQ = 1/2(AB.AC) (PA+AQ)
c'est bien la bonne méthode mais tu ne peux pas dire
AB.PA=0 et AC.AQ=0
puisque tu as démontré que AB.AP=ah² =AC.AQ !!!!
Est ce que c'est juste si je fais plutôt 1/2 (AB.AC)(aQ.AP) ? Parce que je peux reprendre le raisonnement de la question présente plus facilement mais ça serait plus juste de faire je pense de faire 1/2 (AB+AC) x ( AQ-AP) édit : je suis bête j'ai trouvé en prenant mon premier raisonnement ^^
Bonjour,
Pour compléter l’aide de Chut
Quelques rappels sur les vecteurs :
1er : AB = - BA
2ème : Relation de Chasles => AB = AC + CB , on prends les deux lettres, on les ecarte en mettant « C + C » entre , « C » étant le point à insérer.
3ème : Si I est le milieux de AB , alors AI=IB , AI+BI=0, IA+IB=0
4ème : Si (AB) et (CD) sont perpendiculaires alors AB.CD = 0
Ils ont besoin d'aide !
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ne mélange pas les sommes de vecteurs (pour lesquelles on peut utiliser la relation de chasles ) et le produit scalaire
rappel produit scalaire AB .AC =ab .ac cos(AB,AC)
j'utilise les majuscules pour les vecteurs ,AB ou AC,et les minuscules pour les normes des vecteurs
ta démonstration est fausse
AB+AC= AI+BI+IC+AI
AB+AC= 2AI+ (BI.IC) -->tu ne peux pas dire que BI+IC =BI.IC
BI.IC= 0 car I milieu de BC -->non,qd 2 vecteurs sont colinéaires ,alors
*si les 2 vecteurs sont de mm sens ,comme BI et IC, ils forment un angle nul et cos 0 =+1
BI.IC =bi.ic
*si les 2 vecteurs sont de sens contraire,ils forment un angle de 180° et cos 180 =-1
BI.IC = -bi.ic
1)c'est + logique de partir de AI et d'arriver à AB et AC
AI =AB +BI
=AB +1/2 BC car I milieu de BC
=AB +1/2 BA +1/2 AC
je te laisse finir
Merci j'ai réussi à finir ma démonstration pour cette question en reprenant mon raison. J'ai donc dis que IB+ IC=0 car I milieu de BC.