Suites numériques. Entreprise de forage

Sujet du devoir

Les tarifs d'une entreprise A de forage sont les suivants : le premier mètre coûte 35 euros et chaque mètre supplémentaire revient à 5 euros de plus que le précédent.
L'entreprise B propose quant à elle les tarifs suivants : 25 euros seulement le premier mètre et chaque mètre supplémentaire coute 6% de plus que le précédent.

1.a. A l'aide de la calculatrice compléter le tableau ci dessous
b. Quel sera le devis pour un forage de cinq mètres ?
2.Pour un forage de n mètres, on notera :
* un le coût du nème mètre et an le montant du devis pour un forage de n mètres réalisé par l'entreprise A;
* vn le coût du nème mètre et bn le montant du devis pour un forage de n mètres réalisé par l'entreprise B.
Expliquer pourquoi les suites u et v ainsi définies sont respectivement arithmétique et géométrique. Préciser leur raison.
3.a. an est la somme de termes de la suite u; préciser lesquels.
b. En déduire une expression de an en fonction de n.
4. Déterminer de même une expression de bn, en fonction de n.
5. Tableau
6. Calculatrice
7. Indiquer selon la profondeur n prévue du forage, l'entreprise la moins chère.

Où j'en suis dans mon devoir

1.a.
Entreprise A : Prix du 1er mètre = 35 euros
Entreprise A : Prix du 2ème mètre = 40 euros
Entreprise A : Prix du 3ème mètre = 45 euros
Entreprise A : Prix du 4ème mètre = 50 euros
Entreprise A : Prix du 5ème mètre = 55 euros.

Entreprise B : Prix du 1er mètre = 25 euros
Entreprise B : Prix du 2ème mètre = 26,5 euros
Entreprise B : Prix du 3ème mètre = 28,09 euros
Entreprise B : Prix du 4ème mètre = 29,78 euros
Entreprise B : Prix du 5ème mètre = 31,56 euros.

1.b.
Pour un forage de 5mètres dans le cas de l'entreprise A, le prix sera de 35+40+45+50+55= 225€
Pour un forage de 5mètres dans le cas de l'entreprise B, le prix sera de 25+26,5+28,09+29,78+31,56=140,93€

2.
Dans la suite u, un nombre constant est ajouté au terme précédent dans la suite. Dans le cas de l'entreprise A, on ajoute toujours 5, ce qui correspond à la raison. Ainsi r=5.
Si u est une suite arithmétique alors un=u0+nr=u0+5n
On prend la valeur du premier mètre pour u0, càd que u0=35. Ce qui signifierait que un=35+5n.
Nous allons tout d'abord exprimer un+1 en fonction de n.
Pour tout n, un+1=5(n+1)+35=5n+5+35=5n+40
D'où pour tout n, un+1-un=5n+40-5n+35=40-35=5
On retrouve le nombre 5 correspondant à la raison, donc un+1-un ne dépend pas de n. Ce qui signifie que la suite u est une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme u0=5*0+35=35

Dans la suite v, un nombre constant (différent de 0) est multiplié par le terme précédent dans la suite. Dans le cas de l'entreprise B, on multiplie toujours le coefficient multiplicateur à la valeur précédente. Puisqu'il faut ajouter (ou enlever) 6% pour passer d'une valeur à une autre, alors CM=1+(t/100)=1+(6/100)=1,06. Ainsi il y a une certaine fréquence entre les données qui se suivent de la suite, qui est une multiplication par 1,06 lorsque l'on prend 2 données qui se suivent dans l'ordre croissant ou une division par 1,06 lorsque l'on prend 2 données qui se suivent dans l'ordre décroissant. Nous pouvons ainsi dire qu'il y a une relation de récurrence entre 2 termes consécutifs: Pour tout entier naturel n, on a un+1=un*q, puisque chaque terme dépend du précédent ou du suivant et que le passage de l'un à l'autre se fait par une multiplication, ou division par une même valeur, en occurrence 1,06.