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Sujet du devoir
f est le fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=x+(racine(x²+1)).On se propose d'étudier le comportement de f(x)-2x pour les grandes valeurs de x.
1. Observer et conjecturer
a) Réaliser et compléter avec un tableur, la feuille de calcul avec
x allant de 0 à 140
f(x) commençant par 1 (.. a compléter)
2x commençant à 0 (.. a compléter)
b)Construire, à l'écran de la calculatrice, dans une même fenêtre graphique la courbe représentative de la fonction f et la droite ∆ d'équation y=2x.
c) Commenter les résultats obtenus dans le deux questions précédentes. Conjecturer une limite.
2. Démontrer
a) Démontrer que pour tout nombre réel x de [0;+∞[ : f(x)-2x=1/(x+racine(1+x²))
b) En déduire que pour tout nombre réel x>0 : 0
Où j'en suis dans mon devoir
Ce que j'ai fait:1)a) sur exel
b) sur la calculatrice
c) D’après le tableau on voit que la fonction est croissante. Cela est démontrer lorsque nous traçons le graphique sur la calculatrice. On remarque également dans le tableau sur exel que la f(x) est se rapproche de 2x sans jamais l'atteindre. On peut alors conjecturer que lim f(x) quand x tend vers +l'infini est égale a 2x.
2) a) f(x)-2x = x+(racine(x²+1))
= (racine (x²+1)) –x
= [(racine(x²+1)-x) (racine (x²+1)+x)]/ [racine(x²+1) +x]
= (x²+1-x²)/[racine(x²+1) +x]
= 1/[racine(x²+1) +x]
Donc pour tout nombre réel x de [0 ;+ ∞[ : f(x)-2x = 1/[racine(x²+1) +x]
Voici ou je me suis arrêter merci de m'aider pour la suite et me dire si ce que j'ai fait est juste :)
7 commentaires pour ce devoir
Merci pour la question 2)b) voici l’énoncer.
En déduite que pour tout nombre réel x>0 : 0
En déduite que pour tout nombre réel x>0 : 0
bonsoir,
j'essaie en partant de x²>0..
x² > 0
x²+ 1 > 1
racine (x²+1) > racine (1)
racine (x²+1) + x > 1 + x
1/(racine(x²+1) + x) < 1/1+x
or 1+x>x
et 1/(1+x) < 1/x
donc
1/(racine(x²+1) + x) < 1/1+x < 1/x
d'ou
1/(racine(x²+1) + x) < 1/x
je te laisse montrer que c'est toujours positif.
as tu tout compris ?
j'essaie en partant de x²>0..
x² > 0
x²+ 1 > 1
racine (x²+1) > racine (1)
racine (x²+1) + x > 1 + x
1/(racine(x²+1) + x) < 1/1+x
or 1+x>x
et 1/(1+x) < 1/x
donc
1/(racine(x²+1) + x) < 1/1+x < 1/x
d'ou
1/(racine(x²+1) + x) < 1/x
je te laisse montrer que c'est toujours positif.
as tu tout compris ?
Bonjour
J'ai compris mais comment montrer que c'est toujours positif ?! :/
J'ai compris mais comment montrer que c'est toujours positif ?! :/
bonsoir,
je crois que tu laisses tomber un peu vite, non ..
Tu es en premiere S ==> il faut te lancer davantage.
on a x>=0, et on sait qu'une racine est toujours positive..
que penses tu de la somme d'un truc positif et d'un autre truc positif ??
et l'inverse de cette somme ?
je crois que tu laisses tomber un peu vite, non ..
Tu es en premiere S ==> il faut te lancer davantage.
on a x>=0, et on sait qu'une racine est toujours positive..
que penses tu de la somme d'un truc positif et d'un autre truc positif ??
et l'inverse de cette somme ?
La somme d'un truc positif et d'un autre truc positif -> positif ?!
ben.. oui !
un truc positif + un autre truc positif, ca ne peut etre QUE positif.
et l'inverse d'un truc positif est positif aussi..
Bonne soirée !
un truc positif + un autre truc positif, ca ne peut etre QUE positif.
et l'inverse d'un truc positif est positif aussi..
Bonne soirée !
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En effet, que ce soit sur le tableur ou sur le graphique, tu vois que f(x) est toujours > à 2x, et quand x tend vers +oo,
la courbe se rapproche de la droite, sans jamais l'atteindre.
L'écart entre les deux devient de plus en plus petit.
c) ta conjecture doit porter sur la limite de f(x)-2x
pas sur la limite de f(x).
Si l'écart devient de plus en plus petit, c'est que la limite de f(x)-2x quand x tend vers +oo est egale à 0 (par valeur positive).
Q2a) : OK
Q2b : je ne la lis pas dans l'énoncé..
Q2c.
une façon de faire :
quand x-->+oo
lim (racine(x²+1)) = lim (racine(x²)) = x
lim (racine(x²+1)+x) = 2x
et lim 1/(racine(x²+1)+x) = 0 par valeur positive.
d'ou lim(f(x)-2x)) = 0 par valeur positive.
OK ?