Comparer x² et x3.

Sujet du devoir

On considère les fonctions de référence F: x ↦ x² et G: x ↦ x₃.
On veut comparer algébriquement f(x) et g(x), c'est à dire déterminer pour quelles valeurs de x on a f(x) ≤ g(x) et pour quelles valeurs de x, f(x) ≥ g(x).
Après avoir considéré le signe de f(x) et celui de g(x) sur ]-∞ ; 0], indiquer quelle inégalité vérifient f(x) et g(x) sur cet intervalle.
Pour comparer f(x) et g(x) sur [0; +∞ [ , on va étudier le signe de la différence f(x)-g(x) :
Si f(x) – g(x) ≥ 0 , alors f(x) ≥ g(x) ; Si f(x) – g(x) ≤ 0, alors f(x) ≤ g(x).

A) Déterminer, puis factoriser f(x) – g(x).
B) En déduire le signe de f(x) – g(x).

Conclure quant à la comparaison de f'(x) et de g(x) suivant les valeurs de x.

Où j'en suis dans mon devoir

A) F: x ↦ x² et G: x ↦ x3,

F = x ↦ x² > 0 donc positif sur ]-∞,0]
G = x ↦ x3 donc négatif sur ]-∞;0]

f(x) – g(x)
= x² - x3
= x² – (1-x)

B) Lorsque x ∈ [0;1] alors f(x) ≥ g(x)
Lorsque x ∈ [1; + ∞[ alors f(x) ≤ g(x)