Devoir n°4 2nde CNED

Sujet du devoir

Bonjour voici le sujet de mon devoir de maths.

Ex 1
Répondre par vrai ou faux et justifier: 
1) AXMT sont 4 points distincts tels que vecteur AX = vecteur MT 
a) AXMT est un parallélogramme.
b) AXTM est un parallélogramme.
c) vecteur XA = vecteurTM.

2) BUDZ est un parallélogramme:
a) vecteur BU+ vecteur BZ=->BD
b)vecteur BZ+vecteur DU=->O
c) vecteur BU+ vecteur ZD=->O

3) Dans un repère ( O, ->i, ->j), A(-5, 0); B(1,2) et C(4,3)
a) vecteur AB et vecteur AC sont colinéaires.
b) vecteur BA=-2 vecteur BC
c) vecteur AB=3/2 vecteur AC


Ex 2
Dans le plan muni d'un repère (O,I,J) on considère les points A(1;4), B(-1;-1), C(5;0) et M(7/3;8/3).
On note K le milieu de [AB] et D le point tel que ABCD soit un parallélogramme.
1) Déterminer es coordonnées de K.
2) Montrer que A, M et C sont alignés.
3) Déterminer les coordonnées de D.
4) Montrer que K, M et D sont alignés.
5) Que représente M pour le triangle ABD ?


Ex 3
OIAJ ets un carré de côté 2 cm.
Pour chaque point M de la demi-droite [Ox) situé à l'extérieur du segment [OI], on construit le point N intersection des droites (Oy) et (MA).

A. Expérimentation et conjecture
1) a) Sur une même figure, placer avec des couleurs différentes les points M tels que IM= 0,5 cm, IM= 1 cm, IM= 2 cm, IM= 3 cm, IM= 6 cm.
Construire les points N correspondants.
b) Mesurer avec une règle les longueurs ON pour les différents points N ainsi construits, puis recopier et compléter le tableau de valeurs:
IM(cm) | 0,5 | 1 | 2 | 3 | 6 |
ON(cm)| | | | | |
2) On considère la fonction L qui à IM associe la distance ON. On note x la distance IM.
a) A quel intervalle appartient x ?
b) Quel semble être le sens de variation de la fonction L ?

B. Calculs
1) a) Montrer que L(x) = 4/x+2
b) Vérifer alors les valeurs obtenues expérimentalement.
2) En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, justifier la conjecture sur le sens de variation de la fonction L.


Ex 4
Le carré ABCD a un côté de longueur 8 cm. M est un point du segment [AB). On dessine comme-ci après dans la carré ABCD
- un carré de côté [AM],
- un triangle isocèle de base [MB] et dont la hauteur a même que le côté [AM] du carré.
On pose x = AM.
1) Montrer que l'aire du triangle est égale à : -0,5x^2+4x
2) Est-il possible que l'aire du triangle soit égale à l'aire du carré de côté [AM] ?
3) Est-il possible de faire en sorte que l'aire du triangle soit la plus grande possible ?
Si oui, préciser dans quel cas.
4) Est-il possible de faire en sorte que l'aire du triangle soit plus grande que l'aire du carré de côté AM ?
Si oui, préciser dans quel cas.


Ex 5
(O,I,J) est un repère orthonormé, C est le cercle trigonométrique de centre O.
M est le point associé au réel PI/4 et H ets le point de l'axe des abscisses tel que ^IHM=90°.
1) a) Calculer la longueur I'H.
b) Démontrer que I'M= RACINE2+RACINE2.
2) En considérahnt l'angle MI'I, calculer les valeurs exactes de cosPI/8 et sinPI/8.

Où j'en suis dans mon devoir

Voilà ce que j'ai fait, je ne sais pas si c'est bon, et j'aimerai que vous m'aidiez pour les questions que j'ai pas réussit: la question 5 de l'exo 2, la question 2 de B de l'exo 3 et la question 2 de l'exo 5

Exercice 1
1) a) Faux, pour que AXMT soit un parallélogramme il faudrait que le vecteur AX soit égale au vecteur TM.
b) Vrai, car si le vecteur AX est égale au vecteur MT alors AXTM est un parallélogramme.
c) Vrai, vecteur XA = vecteur TM est égale à vecteur AX = vecteur MT car –vecteur AX = -vecteur MT = vecteur XA = vecteur TM.

2) a) Vrai, car vecteur BU + vecteur BZ = vecteur ZD + vecteur BZ donc vecteur BU + vecteur BZ = vecteur BD.
b) Vrai, car vecteur BZ + vecteur DU = vecteur UD + vecteur DU donc 0.
c) Faux, car vecteur BU + vecteur ZD = ZD*2

3) a) Le vecteur AB a pour coordonnées (xB-xA ;yB-yA)
AB (1+5 ; 2-0)
AB (6 ; 2)
Le vecteur AC a pour coordonnées (xC-xA ; yC-yA)
AC (4+5 ; 3-0)
AC (9 ; 3)
(xB-xA*yC-yA)-(xC-xA*yB-yA) = 0
(6*3)-(9*2) = 18-18 = 0
Donc vrai.

b) Les coordonnées du vecteur BA sont (-6 ; -2)
Et les coordonnées du vecteur BC sont (xC-xB ; yC-yB)
BC (4-1 ; 3-2)
BC (3 ; 1)
-2*BC = -2*(3 ; 1) = (3*-2 ; 1*-2) = (-6 ; -2) = BA
Donc vrai.

c) 3/2*vecteur AC = 3/2*(9 ; 3) = (9*3/2 ; 3*3/2) = (13,5 ; 4,5)
vecteur AB ≠ 3/2*vecteur AC
Donc faux.

Exercice 2
1) K est le milieu de [AB]
xK = xA+xB/2 = 1-1/2 = 0/2 = 0
yK = yA+yB/2 = 4-1/2 = 3/2
Les coordonnées de K sont (0 ; 3/2)

2) Les coordonnées de AM sont (xM-xA ; yM-yA)
AM = (7/3-1 ; 8/3-4)
AM = (7/3-3/3 ; 8/3-12/3)
AM = (4/3 ; -4/3)

Les coordonnées de AC sont (xC-xA ; yC-yA)
AC = (5-1 ; 0-4)
AC = (4 ; -4)

AM = AC*1/3
Donc les points A, M et C sont alignés.

3) Si ABCD est un parallélogramme alors les vecteurs AB et DC sont égaux.
Le vecteur AB a pour coordonnées (-2 ; -5)
Et le vecteur DC a pour coordonnées (5-x ; y)
Donc -2 = 5-x et -5 = y
x = 5 + 2 et y = 5
x = 7
D a pour coordonnées (7 ; 5).

4) K a pour coordonnées (0 ; 3/2)
M a pour coordonnées (7/3 ; 8/3)
D a pour coordonnées (7 ; 5)

KM = (xM-xK ; yM-yK)
KM = (7/3-0 ; 8/3-3/2)
KM = (7/3 ; 16/6-9/6)
KM = (7/3 ; 7/6)
KM = (7/3 ; 3,5/3)
KM a pour coordonnées (7/3 ; 3,5/3).

KD = (xD-xK ; yD-yK)
KD = (7-0 ; 5-3/2)
KD = (7 ; 10/2-3/2)
KD = (7 ; 7/2)
KD a pour coordonnées (7 ; 7/2).

KD*1/3 = (7 ; 7/2)*1/3 = (7*1/3 ; 7/2*1/3) = (7/3 ; 7/6) = (7/3 ; 3,5/3) = KM

Les vecteurs KM et KD sont colinéaires, les points K, M et D sont donc alignés.

5) Pour le triangle ABD M représente un point de la médiane KD. <- Vraiment pas sûre ! :/

Exercice 3 : A. Expérimentation et conjecture
1) a) /FIGURE\
b)
IM(cm) 0,5 1 2 3 6
ON(cm) 10 6 4 3,3 2,7

2) a) x appartient à l’intervalle ]0 ; +∞[
b) Le sens de variation de la fonction L est décroissante.

B. Calculs
1) a) AI et ON sont parallèles.
Les points M, A et N sont alignés ainsi que les points M, I et O.
Donc théorème de Thalès.
AI/ON = MI/MO = MA/MN
AI et OI = 2 cm
MI = x
MO = 2+x
2/ON = x/2+x
2/ON = (x+2)/x
ON = 2(x+2)/x
ON = (2x+4)/x
ON = 2x/x+4/x
ON = 2+4/x
Donc L(x) = 4/x+2

b) Prenons pour IM = 0,5
L(0,5) = 4/0,5+2 = 4/0,5+1/0,5 = 5/0,5 = 10
Dans ce cas L(x) = 4/x+2
Pour IM = 1
L(1) = 4/1+2 = 6
Dans ce cas aussi L(x) = 4/x+2
Pour IM = 2
L(2) = 4/2+2 = 4/2+4/2 = 8/2 = 4
C’est juste
Pour IM = 3
L(3) = 4/3+2 = 4/3+6/3 = 10/3 = 3,3
C’est juste
Et pour IM = 6
L(6) = 4/6+2 = 4/6+12/6 = 16/6 = 2,7
C’est juste aussi.

2) J'ai pas comprit la question x-x

Exercice 4 :
1) AB, BC, CD et DA = 8 cm
AM = x
MB = 8-x
L’aire du triangle : (8-x)*x/2
= (8x- x2)/2
= 8x/2-x2/2
= 4x-0,5x2
L’aire de triangle est -0,5x2+4x

2) x2 = (8-x)*x/2
x2 = (8x- x2)/2
3x2 = 8x
x = 8/3
Dans ce cas l’aire du triangle est égale à l’aire du carré de côté [AM].

3) C’est possible de faire en sorte que l’aire du triangle soit la plus grande possible :
(8x- x2)/2 = (8x- x2-16+16)/2 = (16-(x-4)2)/2
= (16-x2-16)/2
= -x2/2

4) C’est possible de faire en sorte que l’aire du triangle soit plus grande que l’aire du carré de côté AM, si l’aire du triangle est inférieure à x2.
(8x-x2)/2>x2
Soit 8x-3x2>0

Exercice 5
1) a) I’H = I’O + OH = 1 + cos (π/4) = 1 + (√2/2)
b) Théorème de Pythagore
I’M2 = I’H2 + HM2 = (1 + (√2/2))2 + sin2 (π/4)
= (1 + (√2/2))2 + (√2/2)2
= (√(2+√2)2
I’M = √2+√2

2) J'ai retourné la question dans tout les sens je ne trouve pas le résultat x-x