Devoir sur les fonctions (à corriger)

Sujet du devoir

Une usine de fabrique des boîtes de conserve cylindriques de volume 1 litre, soit 1000 cm cube. Une étude est faite pour minimiser la quantité d'acier utilisée pour la fabrication d'une boîte.

On note x le rayon de la base (en cm) et h(x) la hauteur de la boîte (en cm).

1. a. Montrer que h(x) = 1000/pi*x²

b. Afficher sur l'écran de la calculatrice la courbe de la fonction h qui, à tout réel x de [1;20], associe h(x).

c. Des contraintes de fabrication imposent que la hauteur de la boîte soit comprise entre 3 cm et 40 cm. Déterminer graphiquement l'ensemble I des valeurs possibles de x, en choisissant comme bornes de I des entiers naturels.

2. Soit S(x) l'aire d'acier (en cm²) nécessaire à la fabrication d'une boîte.

a. Montrer que S(x) = 2*pi*x² + 2000/x

b. Afficher sur l'écran de la calculatrice la courbe de la fonction S, qui à tout réel x de I, associe S(x).

c. Déterminer une valeur approchée du minimum de la fonction S sur I et,à 0.1 près, la valeur de x pour laquelle il est atteint.

d. En déduire les dimensions (au mm près) de la boîte qui possède la plus petite surface d'acier.

Où j'en suis dans mon devoir

1. a. Vcylindre = h(x)*pi*x²

1000 = h(x) * pi*x²

1000/pi*x² = h(x)

c. I = [3;10]

2. a. S(x) = 2*pi*x²+2*pi*x*h

               = 2*pi*x²+2*pi*x* 1000/pi*x²

               = 2*pi*x²+ 2000*pi*x/pi*x²

               = 2*pi*x² + 2000/x

c. La valeur du minimum de la fonction S sur I est 548.4 cm² et la valeur de x pour laquelle il est atteint est environ 5.2cm.

d. Les dimensions de la boîte qui possède la plus petite surface d'acier est une boîte qui possède une surface d'acier de 548.4cm², donc une boîte de 5cm.

Je voudrais seulement que vous corrigez mon exercice ^^.