Factoriser x^4+1 dans R

Salut, on fait ça en seconde ?

Je vais te dire avec les complexes :

Il suffit juste de résoudre x^4 + 1 = 0 dans C
soit x^4 = -1 = exp(i*Pi)

De là tu remarques que les solutions sont
exp(i*Pi/4), exp(i*3Pi/4), exp(i*5Pi/4), exp(i*7Pi/4)

Et là on vérifie facilement qu'elles sont conjuguées.

Petit rappel :
Soit a € C et a_ son conjugué, on a :
(x-a)(x-a_) = (x² - 2 Re(a) + |a|²)

donc finalement :
x^4 + 1
= (x² - 2x Re(cos(Pi/4)) + 1) (x² - 2x Re(cos(3Pi/4)) + 1)
= (x² - x V2 + 1) (x² + x V2 + 1)

Ou bien plus simple, tu peux aussi dire que x^4 + 1 = 0 n'admet aucune solution réelle.

x^4 + 1 se factorise alors de cette façon

x^4 + 1 = (ax² + bx + c) (dx² + ex + f)

En réfléchissant et par identification, tu déduis a = d = 1, et c = f = 1

x^4 + 1
= (x² + bx + 1) (x² + ex + 1)
= x^4 + x²(be+2) x (b+e) + 1

Ce qui t'amène à résoudre le système :

be + 2 = 0
b + e = 0

tu retrouves b = V2 et e = -V2

Bonjour merci pour ta réponse.
En fait, je voulais écrire : (x^2-i)(x^2+i)
cela change t il qqchose?

Bonjour, merci pour ta réponse.
Non j'ai eu un exercice dans R mais on m'a dis que dans C c'était possible et plus facile. Comme j'ai juste vu partiellement les complexes, je galère un peu
J'ai bien compris le résultat dans R
Par contre, dans C je ne comprends pas la démarche pour obtenir les exponentielles.
Peux tu m'éclaircir?

1er point :

Pour trouver une racine dans C, ce n'est pas bien compliqué si tu connais l'exponentielle complexe.

déjà il faut savoir que pour x€R
exp(ix) = cos(x) + i sin(x)

donc exp(iPi) = -1


- Résoudre x^4 + 1 = 0 dans C revient à résoudre x^4 = exp(iPi)


2nd point :

Si tu veux résoudre

x^n = exp(i*(theta))

(theta est un angle)

Tu passes en valeur absolue, ça te donne :
|x|
= |exp(i*(theta)) |
= Racine de (cos²(theta) + sin²(theta))
= 1

x a donc pour module 1 et est sous la forme :

x = 1* exp(i*alpha)
Il suffit de trouver son "angle" alpha.

Grâce à la propriété des exponentielles, tu trouves que

x = exp(i*theta/n + 2kPi/n)

avec k€[| 0, n-1 |], ce qui te fournit n solutions.




3) En retournant à l'équation de départ, il ne te reste plus qu'à appliquer ce que je viens de t'énoncer :

x^4 = exp(i*Pi)

|x| = 1
alpha = Pi/4 + 2kPi/4 avec k € [| 0 ; 3 |]


donc les 4 solutions sont

x1 = exp(i Pi/4)
x2 = exp(i (Pi/4 + 2*1 Pi/4)) = exp (i 3Pi/4)
x3 = exp(i (Pi/4 + 2*2 Pi/4)) = exp (i 5pi/4)
x4 = exp(i (Pi/4 + 3*2 Pi/4)) = exp ( i 7 pi/4)


Tu remarques que x3 = exp (-i 3pi/4) = conjugué de x2
Tu remarques aussi que x4 est le conjugué de x1



Après tu sais que x^4 + 1 s'écrit sous cette forme (c'est un théorème):

(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
= (x-x1)(x-x4) * (x-x2)(x-x3)

Et d'après ce que je t'ai dit dans mes 2 premiers posts :

= (x² - 2 Re(x1) + |x1)²) * (x² - 2 Re(x2) + |x2)²)

Je te conseille la méthode avec les réels. (avec quelques justifications en plus)

La seconde, tu n'es pas censée la connaître en 2nde.
Ca fait "pompé".

Et sinon tu peux écrire :
(x^2-i)(x^2+i)

Mais c'est pas dans R. ^^

Bonjour,
Merci pour ta réponse très détaillée.
Concernant le dernier point :(x^2-i)(x^2+i)
tu peux l'écrire sous la forme (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
= (x-x1)(x-x4) * (x-x2)(x-x3) et après tu mets sous la forme exponentielle?

Oui.

Tu peux décomposer (x^2 - i) en :

(x^2 - i)
= (x - exp(i Pi/4)) * (x - exp(i 5Pi/4))

et tu peut faire de même pour
(x² + i)
= (x - exp(i 3Pi/4)) * (x - exp(i 7Pi/4))

--> Ca te donnera le même résultat que précédemment si tu multiplies le tout.


N'oublie pas de me choisir comme bonne réponse. ^^

N'hésite pas si tu as encore d'autres questions.

Merci beaucoup pour ton aide.
Tu as été vraiment très précis et clair.
Je vais essayer de le faire avec cette méthode pour m'entrainer.
Si je "coince" je me permettrai de te recontacter.
Comment dois je faire pour te choisir comme bonne réponse? Je suis nouveau et je ne connais pas vraiment le fonctionnement.

Je ne sais pas non plus, moi aussi je viens d'arriver. =D

Ca doit être marqué quelque part sur la page.

N'hésite pas à me demander s'il y a encore des soucis.

Encore moi!!!
Je ne comprends pas comment tu décomposes (x^2-i)(x^2+i)
Merci d' avance

(x^2-i)(x^2+i)
= x^4 + i* x² - i*x² - i*i
= x^4 + 0 - (-1)
= x^4 + 1

(x - exp(i Pi/4)) * (x - exp(i 5Pi/4))

= x² - exp(i 5Pi/4)x - exp(i Pi/4) x + exp(i Pi/4) * exp(i*5Pi/4)
= x² - x (exp(i 5Pi/4) + exp(iPi/4)) + exp(i Pi/4) * exp(i*5Pi/4)
= x² - x (exp(i 5Pi/4) + exp(iPi/4)) + exp (i 6pi/4)
= x² - x (exp(i 5Pi/4) + exp(iPi/4)) - i


Or exp(i 5Pi/4)
= cos (5pi/4) + i sin(5Pi/4)
= - cos(Pi/4) - i sin (Pi/4)

donc

exp(5i Pi/4) + exp (i Pi/4)
= - cos(Pi/4) - i sin (Pi/4) + cos (Pi/4) + i sin(pi/4)
= 0


donc

(x - exp(i Pi/4)) * (x - exp(i 5Pi/4)) = x² - i


Meme méthode pour l'autre.

Merci