Fonctions et aire maximal !

Sujet du devoir

Bonjour !

La figure ci-contre est une vue d'une maison de style
moderne. Sur la partie hachurée, on veut placer une fenêtre
représentée par le rectangle AMNP dans le triangle ABC.
Le but du problème est de déterminer les dimensions de la
fenêtre ayant la plus grande aire.
ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB=2 m ;
AC=2,5 m.
N est sur [BC], M est sur [AB] et (MN) est parallèle à (AC).



On pose MN x = (distance exprimée en mètres). Toutes les
distances seront exprimées en mètres.
1. a. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?
b. Exprimer la distance BM en fonction de x . En
déduire que MA = 2 - 0,8x
c. Exprimer en fonction de x l'aire en m² de la fenêtre et de chacun des triangles MNB et NCP

d. Déterminer la valeur de c pour laquelle les deux triangles ont la même aire

2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 2,5] par f(x)=2x - 0,8x² représentant l'aire de la
fenêtre.
Tracer dans un repère orthogonal la courbe de la fonction f . (On prendra 0,5 cm
pour 0,1 m sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 0,1 m² sur l'axe des ordonnées)

3. Pour des raisons d'esthétique, les dimensions de la fenêtre doivent respecter les
conditions suivantes :
• d'une part, la largeur MN doit être supérieure ou égale à 0,50 m ;

• d'autre part, la hauteur MA doit être supérieure ou égale à 0,60 m.

Par le calcul, prouver que x doit alors vérifier : 0,50 <(ou egal) x <(ou egal) 1,75

4. Par simple lecture du graphique (on fera apparaître les pointillés nécessaires) :

a. Quelles sont les largeurs de fenêtre correspondant à une aire de 0,80 m² ? Pour ces
largeurs, les conditions de la question 3. sont-elles vérifiées ?

b. On veut résoudre l'inéquation f(x)> 0,8 Interpréter concrètement cette question.

b. A quelle largeur correspond la fenêtre d'aire maximum ? Pour cette largeur,
que peut-on dire des aires des triangles MNB et NPC

Où j'en suis dans mon devoir

MN se déplace depuis le point B (alors x=0) jusqu'à CA (MN=2,5 )

donc 0 < (ou égal)x < (ou égal)2,5

avec thalèes j'obtiens :

les rapports NM/CA=BM/BA soit x/2,5 = BM/2

soit encore x=(2/2,5)x ==>x=0,8x

MA=BA-BM ==> MA=2-0,8x

aire rectangle MA*NM = 2-0,8x*x = x(2-0,8x)

aire triangle MNB : 0,8x*x/2 = 0,4x²

aire triangle NCP : (2,5-x)(2-0,8x)/2 = (5-2x-2x+0.8x²)/2
= (5 - 4x + 0,8x²)/2
= (2,5 - 2x + 0,4x²)

après je suis bloqué /