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Sujet du devoir
Bonjour, j'ai un DM pour lundi, le voici:Thème: Irrationalité de (racine carrée) de 2
*Préliminaires: On travaille dans l'ensemble N
1) Un entier a est pair lorsqu'il est multiple de 2 dons lorsqu'il s'écrit a=2p avec p c (appartient a )N.
Démontrer que a² est également pair.
2)Un entier naturel b est impair lorsque le nombre précedent est pair donc b=2p+1 avec p c N.
Démontrer que b² est également impair.
*Démonstration de l'irrationalité de (racine carrée) de 2
On fait une supposition (ou hypotèse): supposons que (racine)de 2 soit un nombre rationnel. Alors (racine) de 2=a/b
La fraction étant irréductible.
1)Monter qu'alors on a a²=2b²
2)On peut en déduire que a² est un nombre pair. a peut il etre impair? Justifier.
3) On pose donc a=2p. Montrer qu'alors b² est pair. Que peut on en déduire pour la parité de b?
*Conclusion: a/b ne serait pas une fration irréductible. Pourquoi?
On peut donc en conclure que la supposition était fausse et que, par conséquent, (racine)de2 n'est pas rationnel.
Où j'en suis dans mon devoir
Voila ce que j'ai fais:1)a=2p (p c N) est pair donc a² est également pair.
Démontrer:
donc a²=(2*p)²=4*p²=2*(2p²) donc a² est bien multiple de 2 avec 2p² qui appartient a N car p appartient a N.
D'ou a² est bien pair si a est pair.
2) b=2p+1 est impair donc b² est impair.
Démontrer:
b²=(2*p+1)=4p²+4p+1 == identité remarquable
donc 4p²+4p= 4p(p+1)= 2*2p (p+1) est pair car multiple de 2 et 2p (p+1) est un entier donc b² est impair (car +1)
*Démonstration de l'irrationalité de (racine) de 2
1)(racine)de 2= a/b
( (racine)de 2)² =(a/b)²
et je dois trouver un calcul pour arriver a :
a²=b²
mais je ne sais pas comment faire..
S'il vous plait pouvez vous me dire si les questions auxquelles j'ai répondu sont justes. Et m'aider pour celles que je n'arrive pas a faire!
Merci d'avance!
17 commentaires pour ce devoir
je vais essayer tdrcau, si je n'y arrive pas je renverrai un msg pour te le dire!
voila ou j'en suis ((racine)de2)²= (a/b)²
2=a²/b²
et ensuite je ne sais pas cm continuer
2=a²/b²
et ensuite je ne sais pas cm continuer
tu fais "passer" b² à gauche, tout simplement
ahh ouiiii mdr c'était tou bete!
et pour la question suivante je pense que a² ne peut pas etre impair. mais pour justifier..
a² est un nombre pair puisque a² s'écrit sous la forme 2*...
a peut-il être impair ? non, car tu as montré auparavant que si a était impair alors a² l'était aussi (c'est ce qu'on appelle le raisonnement par l'absurde)
tu es presque au bout, sois bien concentré sur l'exercice et utilises bien les résultats précédents, je te laisse finir cet exo seul
a peut-il être impair ? non, car tu as montré auparavant que si a était impair alors a² l'était aussi (c'est ce qu'on appelle le raisonnement par l'absurde)
tu es presque au bout, sois bien concentré sur l'exercice et utilises bien les résultats précédents, je te laisse finir cet exo seul
Pour la II.2) Tu dois te servir de ce que tu as déjà démontrer au I.1) A savoir que si a² = 2*p² (avec ici p=b) alors a² est pair donc a aussi.
II.3) Tu fais le même genre de raisonnement.
Ccl : Si a et b sont pair, alors a/b est simplifiable par 2, ce n'est donc pas une fraction irréductible, racine(2) n'est donc pas un rationnel.
II.3) Tu fais le même genre de raisonnement.
Ccl : Si a et b sont pair, alors a/b est simplifiable par 2, ce n'est donc pas une fraction irréductible, racine(2) n'est donc pas un rationnel.
ok merci beaucoup tdrcau!
merci bcp lebravex je vais faire la 3)
et merci pour la conclusion
et merci pour la conclusion
Mais pourquoi je dois montrer que b² est pair alors que dans le I.2) J'ai démontré le contraire, soit que b² est impair ?
<< Mais pourquoi je dois montrer que b² est pair alors que dans le I.2) J'ai démontré le contraire, soit que b² est impair ? >>
parce que la lettre b du 2) n'a pas la même signification que la lettre b du 1)
parce que la lettre b du 2) n'a pas la même signification que la lettre b du 1)
????
ahh ok je pensais que c'était la même!
c'est a dire que j'ai a=2p donc pair car multiple de 2
et a²=2*b²
c'est comme ça qu'il faut que je commence mon raisonnement?
(a laide de la question 1)du II )
et a²=2*b²
c'est comme ça qu'il faut que je commence mon raisonnement?
(a laide de la question 1)du II )
au 2), on a montré que a était pair donc on écrit a = 2p
a² = 4p² = 2*2p²
comme a²=2b² alors 2*2p²=2b²
c'est-à-dire 2p² = b²
donc b² est pair
donc b est pair
mais si a et b sont pairs tous les deux, alors la fraction a/b n'est pas irréductible, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de départ
donc l'hypothèse de départ est fausse donc racine(2) n'est pas un nombre rationnel, c'est donc un irrationnel
a² = 4p² = 2*2p²
comme a²=2b² alors 2*2p²=2b²
c'est-à-dire 2p² = b²
donc b² est pair
donc b est pair
mais si a et b sont pairs tous les deux, alors la fraction a/b n'est pas irréductible, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de départ
donc l'hypothèse de départ est fausse donc racine(2) n'est pas un nombre rationnel, c'est donc un irrationnel
okeii merciii bcp tdrcau!!!
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l'énoncé est exact mais dans ce que tu as fait, apparemment tu cherches à prouver que a²=b² alors qu'on te demande de prouver que a²=2b²!
reprends tes calculs, cette question-là est encore plus facile que celles de la 1ère partie, que tu as brillamment réussie!