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Sujet du devoir

Recherche des dimensions d'un rectangle dont on connaît l'aire et le périmètre.
Un rectangle ABCD a pour périmètre P = 14m et pour aire S = 12m².
1)Soient a et b les dimensions de ce rectangle.
a)Écrire le périmètre de ce rectangle en fonction de a et b.
Puis déterminer l'ensemble I des valeurs possibles pour a et b.
b)Exprimer b en fonction de a.
Puis exprimer S en fonction de a uniquement.
c)Montrer que a est solution de l'équation x(7 – x) = 12.

2) 1ère méthode:
On définit une fonction f sur l'ensemble I telle que: f (x) = x(7 – x) –12.

a)
Développer et réduire l'expression de f (x).

b)Calculer les images de tous les nombres compris entre 0 et 7 avec un pas de 0,5 et
reporter ces valeurs dans un tableau de valeurs.

c)Dans un repère orthonormé (O; I; J), construire la courbe représentative de
f avec OI =OJ = 1cm. (On pourra utiliser d'abord une calculatrice pour voir l'allure de la courbe).

d)Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [0; 7].
e)Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0. Que peut-on dire des solutions graphiques ?
f)En déduire les dimensions de ce rectangle ABCD.

3)2ème méthode:
Montrer que pour tout x dans I: f(x)=−(x−7/2) au carré+ 1/4
a)En utilisant une identité remarquable bien choisie, factoriser f (x) et montrer que f(x)=(x−3)(4−x)
b)Résoudre algébriquement l'équation f (x) = 0.
c)En déduire les dimensions exactes de ce rectangle ABCD.

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