Prouver que des points sont alignées.

Bonjour,

Pour la question 1)b), il faut effectivement utiliser, dans un premier temps, le théorème de Thalès dans le triangle AHE rectangle en H. Le triangle ABE est équilatéral donc la hauteur est confondue avec la médiatrice. Par conséquent, le point H a pour coordonnées H(1/2,0). On en déduit déjà que l'abscisse de E est égale à 1/2.
Après application du théorème de Pythagore, tu dois trouver que EF = racine carrée de (3/4).
Il faut ensuite utiliser soit le calcul de la longueur de EF soit celle de AE. En fait, si tu n'a pas vu que l'abscisse de E est égale à 1/2, il faut utiliser les deux équations pour trouver les deux inconnues.
Calculons la longueur du segment AE :
AE = racine carrée de ((xE-xA)² + (yE-yA)²) = 1 car AB=AE=EB=1
D'où : racine carrée de (xE²+yE²)=1
Elevons cette équation au carré : (xE²+yE²)=1
Nous avons donc : yE² = 1-xE²
Puisque yE est positif (le point E est au-dessus de l'axe des abscisses), yE = racine carrée de (1-xE²)
Par conséquent, nous avons :
yE = racine carrée de (1-(1/2)²)
yE = racine carrée de (1-1/4)
yE = racine carrée de (3/4)
yE est logiquement égale à la longueur de EH (visible sur le schéma).

Par conséquent, E a pour coordonnées (1/2,racine carrée de (3/4)).

Avec la même méthode et introduisant le point H' pied de la hauteur du triangle issue de H dans le triangle CBF, tu dois arriver à montrer que H a pour coordonnées (1+racine carrée de (3/4),1/2).

La question 2) est une application du cours. Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires alors les points A, B et C sont alignés.

Bonne continuation.

Pardon, je suis désolé mais je me suis emmêlé les pinceaux à la fin.
Il fallait lire en fait :

Avec la même méthode et introduisant le point H' pied de la hauteur du triangle issue de F dans le triangle CBF, tu dois arriver à montrer que F a pour coordonnées (1+racine carrée de (3/4),1/2).

Bon courage.

Comment montrer que F a pour coordonnée?(1+racine carrée de (3/4),1/2).
Comment prouver que les points D, E, F sont alignées sans utilier les vecteurs?

Bonjour,

Comme je l’avais précédemment écrit, pour déterminer les coordonnées de F, il faut utiliser la même méthode que celle employée dans le calcul des coordonnées de E.

Notons H' le pied de la hauteur du triangle CBF issue de H. Ce triangle étant un triangle équilatéral, sa hauteur est confondue avec sa médiatrice. Par conséquent, H’ est le milieu du segment [BC]. Nous en déduisons donc que yH’ = yF = 1/2.
Il reste alors à déterminer xF.
En appliquant le théorème de Pythagore au triangle BH’F rectangle en H’, nous obtenons que : H’F = racine carrée de (3/4).
Nous savons que :
BF = 1 = racine carrée de ((xF-xB)²+(yF-yB)²) = racine carrée de ((xF-1)²+(yF)²)
En élevant cette équation au carré, nous obtenons :
1=(xF-1)²+(yF)² = (xF-1)²+(1/2)²
(xF-1)²=3/4
Or xF-1>0 car xF>1. Donc, nous obtenons :
xF-1 = racine carrée de (3/4).
D’où le résultat : xF = 1+racine carrée de (3/4).
Par conséquent, le point F a pour coordonnées (1+racine carrée de (3/4),1/2).

2) Je ne comprends pas pourquoi tu ne veux pas utiliser les vecteurs car je suppose que c’est le chapitre que tu es en train de voir ou que tu viens juste de terminer de voir.
Il suffit de déterminer les coordonnées des vecteurs DE et DF.
Je te montre pour le vecteur DE.
L’abscisse du vecteur DE est égale à : xDE = xE-xD = 1/2-0=1/2
L’ordonnée du vecteur DE est égale à : yDE = yE-yD = racine carrée de (3/4)-1
Une fois les coordonnées des deux vecteurs connues, il suffit de se rappeler de son cours :
Les vecteurs DE et DF sont colinéaires si et seulement si xDE*yDF = xDF*yDE.
Il reste alors à écrire que, les vecteurs DE et DF étant colinéaires, les points D, E et F sont alignés.
N’hésite pas à me dire où tu vois la difficulté du calcul (même si c’est une simple application du cours …).

Mais le soucis c'est que nous avons pas étudier les vecteurs.
Pour l'instant on a travailer sur les droites remarquables , les coordonnées d'un point, les fonctions, les intervalles.. rien de plus.

Bonsoir,

Je tiens à m'excuser car je pensais que tu avais déjà vu le chapitre sur les vecteurs.

Nous allons donc procéder autrement. Pour démontrer que les points A, B et C sont alignés, nous pouvons montrer que AC=AB+BC.

Dans ton cas, il suffit donc que tu montres que DF=DE+EF. Comme tu as les coordonnées de tous les points, il te sera très facile de calculer chaque longueur (même méthode que celle que tu as utilisée pour calculer EH).

J'espère que j'ai enfin réussi à t'aider. Bon courage pour la fin de ton exercice.

PS : tu peux toujours retenir ce site (et aller le voir) :
http://meselevespreferes.free.fr/seconde/Des%20cles%20pour%20demontrer41.pdf
Il n'est pas complet mais il y a matière à avancer.

UN GRAND MERCI. Au fond, ça coulait de source, j'aurais dû y penser, je connais les coordonnées de tout les points, ça devrait faire tilt.
Sur ceux, encore merci et je vous tiens au courant de mon résultat.