Brevet blanc, partie géométrie histoire d'angles

Sujet du devoir

Exercice n°2:

Description du dessin:
ABC est un triangle équilatéral;
Le point O est le centre du cercle circonscrit du triangle;
Le point D est le point diamétralement opposé au point B sur ce cerle.
Questions:
1) Déterminer la nature du triangle ABD, justifier
2)Déterminer la mesure de l'angle ADB, justifier
3) En déduire la mesure de l'angle ABD puis celle de l'angle AOD.

Où j'en suis dans mon devoir

1) J'ai déterminer la nature du triangle ABD :
Ce triangle est rectangle en A (si un triangles est inscrit dans un cercle et qu'il a pour sommets les extrémités d'un diamètre et un un point appartenant à ce cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point.)

2) Pour celle la, je ne suis pas très sûre que mon raisonnement soit le bon... :
Je sais que l'angle BAD mesure 90° et vu que le triangle ABC est équilatéral, j'en déduis donc que l'angle BAC mesure 60°. J'appelle le point E l’intersection de [AC] et [BD].
(calcul d'angles): BAD-BAC=EAD
90°-60°=30°
L'angle EAD mesure 30°. De plus, dans un triangle équilatéral, la médiane, la bissectrice, la médiatrice et la hauteur sont la même droite. Donc [BD] et [AC] sont perpendiculaires. Je me retrouve donc avec un petit triangle rectangle en E en haut à droite du dessin.
dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°, donc:
(calcul d'angles):
ADE=180°-(EAD+AED)
ADE=180°-(30°+90°)
ADE=180°-120°
ADE=60°

3) Dans un triangle (ABD pour cette question), la somme des angles d'un triangle est égale à 180°. donc:
(calcul d'angles):
ABD=180°-(BAD+ADB)
ABD=180°-(90°+60°)
ABD=180°-150°
ABD=30° donc, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors, l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit. donc AOD=30°x2=60

Pour la question 2, je ne suis pas sure que mon raisonnement soit le bon. Si vous voyez une méthode plus simple et plus rapide, je suis preneuse. Merci