calcul astucieux de sommes

Sujet du devoir

Karl Friedrick Gauss (1777 – 1855) était un mathématicien, astronome et physicien allemand de génie.

Surnommé « le prince des mathématiciens », il montra dès l’école primaire des qualités extraordinaires pour le
calcul : alors que son maître demandait aux élèves de la classe de calculer la somme de tous les nombres entiers de 1 à
100, il mit seulement quelques instants pour inscrire 5 050 sur son ardoise… et c’était bien le résultat de cette somme !
Pour calculer aussi rapidement la somme S = 1+2+3+…+98+99+100, le jeune Gauss pensa à regrouper astucieusement les
nombres de la façon suivante : S = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(49+52)+(50+51)
Ainsi : S = 101+101+101+…+101+101. S étant la somme de 50 termes tous égaux à 101, il ne restait plus au jeune Gauss qu’à
faire mentalement un seul produit : 50 .101 =5 050.

a)
Calculer (astucieusement) les sommes suivantes :
S1 = 1+2+3+4+…+298+299+300
S2 = 1+2+3+…+2 010+2 011+2 012


b)
On considère la somme suivante :

S = 5+6+7+…+68+69+70
.Combien de termes a la somme S ?
.Calculer (astucieusement) S.

Où j'en suis dans mon devoir

1.S1=1+2+3+....+298+299+300
S1=(1+300)+(2+299)+(3+298)+...+(149+152)+(150+151)
ainsi S1=301+301+301+...301+301
S1 étant la somme de 150 termes tous égaux à 301 donc S1=150*301=45 150

.S2=1+2+3+..+2010+2011+2012
S2=(1+2012)+(2+2011)+(3+2010)+...(1005+1007)+(1006+1007)
ainsi S2=2013+2013+2013+...2013+2013
S2 étant la somme de 1006 termes tous égaux à 2013 donc S2=1006*2013=2 025 078

2.tout ça me semblait facile mais arrivé à S=5+6+7+..+68+69+70 Je cale car je trouvais 35 termes et je faisais S=35*75 mais quand j'additionne avec la calculatrice chiffre par chiffre je trouve pas le meme résultat avec mon raisonnement j'ai donc pas du tout comprendre!Merci de bien vouloir m'aider