chiffre des unités de 13^2010

Sujet du devoir

Trouvez le chiffre des unités de 13^2010 avec les informations suivantes:
13^0 -> 1
13^1 -> 3
13^2 -> 9
13^3 -> 9
13^4 -> 7
13^5 -> 1

Où j'en suis dans mon devoir

Le travail est quasi déjà fait, je souhaiterai surtout des confirmations...

Pour trouver le chiffre des unité, il faut multiplier le précèdent par 3 car trois chiffre des unités de 13
ex:
13^1 -> 3
13^2 -> 9
3 x 3 = 9
3-9-7-1 se répètent donc comme chiffre des unités des puissances de 13. Il y a donc 4 possibilités de chiffre des unités à 13^2010
Cette combinaison se répète précisément 502 fois et demi car 2010 : 4 = 502,5
Au début j'avais rangé ma combinaison dans l'ordre 1-3-9-7 car 13^0->3, mais ne faut il pas mieux la ranger différemment, tel que 3-9-7-1, si l'on considère que l'on part de 13^1->3

Dans mon idée le résultat aurait été 9 car la combinaison de 4 chiffres moins la demi-combinaison de 2 chiffres (4-2) aurait donné 9-7.
Après ma remise en question, je me demande si le résultat ne peux pas être 7.

une autre possibilité qui me confirme mon 1er résultat:
combi : 1 - 3 - 9 - 7 - 1 - 3 - 9 - 7 - etc
^de 13: 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - etc

On supprimerait alors 3 et 7 car chiffres des unités de puissances de 13 impaires (1/3/5/7 ... )

Quelqu'un peut-il m'aider à y voir plus clair dans mes idées?