Devoir maison volume et fonction

Sujet du devoir

Etude d’un volume.

On considère le cube ABCDEFGH ci-contre. AB = 6.
M est un point « variable » de [AB]. On construit le parallélépipède AMNOPQRS vérifiant les conditions : P est sur l’arête [AE] tel que PE = AM ; O est sur l’arête [AD] tel que AMNO est un carré.

Le but de cet exercice est d’étudier le volume du parallélépipède rectangle « variable » AMNOPQRS. On pose AM = x et on nomme Px le parallélépipède AMNOPQRS.
La figure faite avec le logiciel GeoplanGeospace est disponible sur Moodle. Il faudra auparavant installer le logiciel.


1. Compléter le tableau de la page 2 : les calculs des positions des points, chacune des trois figures (à la main) et les volumes correspondant.

2. Facultatif (seulement si on a réussi à installer le logiciel)
a) A l’aide du logiciel, faire afficher la longueur AM (Menu
Créer/Affichage/Longueur d’un segment) et le volume de Px
(Menu Créer/Numérique/Calcul géométrique/Volume d’un
solide) puis faire afficher ce volume (Variable numérique déjà
définie).
b) En déplaçant le point M, émettre des conjectures sur l’existence éventuelle d’un maximum, sur les variations du volume en fonction de x.

Soit f la fonction qui, au réel x, fait correspondre le volume de Px.

3. a) Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
b) Démontrer qu’on a f(x) = -x3 + 6x2.

4. A l’aide d’un tableur, dresser un tableau d’au moins une dizaine de valeurs de f(x). On rendra un document imprimé. Indiquer ci-dessous les méthodes pour remplir les colonnes à l’aide de copier-glisser :


Colonne A : …


Colonne B - Formule saisie dans B2 : …


5. a) Construire la courbe de la fonction f. On pourra le faire à la main ou utiliser un grapheur (celui du tableur ou
un autre) mais le graphique doit être précis et légendé.
b) Si on a traité la question 2 : les conjectures faites en 2 se confirment-elles ?
Sinon, émettre les conjectures demandées dans la question 2 en utilisant le graphique.
c) Utiliser le graphique pour trouver les positions de M pour lesquelles le volume de Px est égal au 1/12eme de celui du cube ABCDEFGH. On explicitera la méthode.

6. On considère le parallélépipède rectangle PUVWEFGH où U, V, W sont respectivement sur [BF], [CG], [DH].
On nomme x ce parallélépipède. On voudrait savoir si le volume de Px peut être égal au quart de celui de x.
a) Compléter la figure donnée ci-dessus en construisant x.
b) Exprimer en fonction de x, le volume de ce parallélépipède.
c) Soit g la fonction g : x  9x.
Construire la droite représentative de g sur le graphique de la question 6.
En déduire graphiquement la réponse à la question. On explicitera la méthode.
d) Retrouver ce résultat par le calcul. On utilisera une factorisation.




Rappel - en perspective cavalière : le parallélisme est conservé ; les proportions sont conservées ;
dans un plan parallèle au plan du dessin, les longueurs, l’orthogonalité sont conservées ;


x = 1

Positions des points M, P, O :

• Pour M, on a AM = 2

• Pour P, on a EP = …

• Pour O : on sait qu’en perspective cavalière, les proportions sont conservées. Or on a en réalité :
AO = AM = 1 et AD = … donc, sur la figure en perspective : AOAD = 16.
On place donc O à 1/6eme de AD.

Volume (P2) = …

x = 2

…

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai tout fait sauf la partie 6
Mais je ne suis pas sure du début