Volume et réduction

1
a)
On a VSABCD = \frac{\mathrm{A}_{\mathrm{ABCD}} \times \mathrm{SH}}{3}.
Avec les valeurs numériques VSABCD = 108 cm3 et SH = 9 cm, on a :
108 = \frac{\mathrm{A}_{\mathrm{ABCD}} \times 9}{3}, soit
9 × AABCD = 3 × 108 = 324, puis
AABCD = \frac{324}{9} = 36 cm2.
L'aire de ABCD est 36 cm2.
b)
On a AABCD = AB × AB = AB2.
D'après la question 1. a), on a AABCD = AB2 = 36 cm2, soit AB = \sqrt{36} = 6 cm car une distance est positive.
La valeur de AB est 6 cm.
c)
Le périmètre du triangle ABC es :
PABC = AB + BC + AC.
ABCD est un carré, donc AB = BC = 6 cm.
Le triangle ABC est rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 72
AC = \sqrt{72} = \sqrt{36\times 2} = 6\sqrt{2} cm car une distance est positive.
On a donc PABC = AB + BC + AC, soit PABC = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2} cm.
Le périmètre du triangle ABC est donc égal à 12 + 6\sqrt{2} cm.
2
a)
Le carré MNOP est la réduction du carré ABCD et AMNOP = 4 = \frac{36}{9} = \frac{1}{9}AABCD.
Or, une réduction de rapport k multiplie les aires des figures par k2, donc k2 = \frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2 et k = \frac{1}{3} car k > 0.
On en déduit que la réduction est une réduction de rapport k = \frac{1}{3}.
Calculons le volume de la pyramide SMNOP :
une réduction de rapport k multiplie les volumes des solides par k3 donc :
VSMNOP = (\frac{1}{3})^3 × VSABCD = \frac{1}{27} × 108
car VSABCD = 108 cm3, soit
VSMNOP = \frac{108}{27} = 4 cm3 .
Le volume de la pyramide SMNOP est 4 cm3.
b)
On a PMNO = MN + NO + MO et PABC = AB = BC + AC.
Une réduction de rapport \frac{1}{3} multiplie les longueurs par \frac{1}{3}, donc MN = \frac{\mathrm{AB}}{3}, NO = \frac{\mathrm{BC}}{3} et MO = \frac{\mathrm{AC}}{3}.
Finalement, PMNO = MN + NO + MO = \frac{\mathrm{AB}}{3} + \frac{\mathrm{BC}}{3} + \frac{\mathrm{AC}}{3} = \frac{1}{3} PABC.
Elise a raison lorsqu'elle pense que pour obtenir le périmètre du triangle MNO, il suffit de diviser le périmètre du triangle ABC par 3.