Cosinus

Bonjour,
Dans le triangle FEH :
Cos FÊH = FE/EH
Cos 50 = FE/EH
EH = FE/(Cos 50)
Dans le triangle GEH :
Sin GÊH = GH/EH
Sin40 = GH/EH
On remplace EH par l’expression de EH trouver dans le triangle FEH
Sin40 = GH/( FE/(Cos 50))
Sin40 = GH x cos50/FE
FE x Sin40 = GH x cos50
FE = GH x cos50 / sin40
Comme Cos 50 = sin 40 la rapport = 1
FE = GH x 1
Donc FE = GH

En résolvant ton exercice, j'ai essayé de me calquer au maximum sur le programme de 4e.


Donc pour rappel, dans un triangle :
- l'hypothénuse est le côté le plus long du triangle (il se trouve en face de l'angle droit de 90°) ;
- le côté adjacent, c'est le côté qui touche l'angle que l'on considère mais qui n'est pas l'hypothénuse (par exemple : le côté adjacent de l'angle FEH, c'est FE car EH est l'hypothénuse).


Pour ton exercice (prouver que EF = GH) :

D'après le schéma, les triangles EFH et EGH possèdent un côté en commun : EH qui est l'hypothénuse des deux triangles.

Dans ton cours, tu dois normalement retrouver cette formule :
"Le cosinus d'un angle est égal à la longueur du côté adjacent divisé par la longueur de l'hypothénuse : cosinus (angle) = adjacent/hypothénuse."

Et donc tu appliques :

- Pour le triangle EFH :
cos (angle FEH) = EF/EH => EF = EH x cos 50°.

- Pour le triangle EGH : c'est la longueur du côté GH qui t'intéresse (il faut donc trouver la mesure de l'angle GHE).
Or, l'angle qui t'est donné est l'angle GEH de 40°.
Son côté adjacent, c'est GE mais tu n'en n'as pas besoin.
Tu vas donc utiliser la règle suivante :
"La somme de tous les angles d'un triangle est égale à 180°."
Toujours dans le triangle EGH, tu connais les angles EGH (90°) et GEH (40°).
Par déduction : 180° = angle GHE + 90° + 40°.
Soit : angle GHE = 180° - 90° - 40° = 50°.
L'angle GHE mesure 50° et son côté adjacent est GH.
Utilises à nouveau la formule du cosinus (cosinus d'un angle = adjacent/hypothénuse) :
cos (angle GHE) = adjacent/hypothénuse
cos 50° = GH/EH => GH = EH x cos 50°.

Si tu regardes ce que tu as déjà trouvé pour le triangle EFH :
EF = EH x cos 50°.
Et : GH = EH x cos 50°.
Donc : EF = GH.

Tu n'as pas besoin de faire d'application numérique.
Je me suis exclusivement basée sur le programme de 4e. Vérifies quand même dans ton cours.

Bon courage et n'hésites pas si tu n'as pas compris.

PS : le "x" c'est le signe multiplié.

Merci beaucoup pour cette merveilleuse explication !
Carla