Algèbre linéaire

Sujet du devoir

n un entier naturel, on se propose de déterminer l'ensemble des polynômes P(X) à coefficients constants réels tels que:
P(X)+P(X+1)=2X^n (1)

1. on considère l'application PHI qui à tout élément Q(X) de R[X] associe le polynôme
PHI[Q(X)]=Q(X)+Q(X+1)
a) établir que PHI est un endomorphisme de R[X]
b) notant p un entier naturel on désigne PHIp la restriction de PHI à
Rp[X]
i) montrer que PHIp est un endomorphisme de Rp[X]
ii) on note Bp la base canonique de Rp[X]. Etablir que la matrice de PHIp dans Bp est triangulaire supérieure dont on déterminera les termes diagonaux
iii)en déduire que PHI est un automorphisme
c) prouver que PHI est un automorphisme de R[X]
d) démontrer qu'il existe un polynôme unique de R[X] vérifiant la relation (1). On précisera son degré et on le notera En(X)

2. on écrit En(X)=Somme(k=0 à n) a(n,k)X^k
a) vérifiez que
En(X+1)+En(X)=Somme(j=0 à n)[a(n,j)+Somme(k=j à n)(j parmis k)a(n,k)]X^k
b) en déduire le système dont les a(n,k) sont les solutions. préciser la valeur de a(n,n)
c) déterminer E0(X), E1(X) et E2(X)
d) démonter que, pour tout entier naturel n on a:
E'n(X)=nEn-1(X)
en déduire l'expression de la dérivée kième de En(X)
e)montrer que En(X==(-1)^n * En(1-X)
en déduire pour n pair strictement positif la valeur de En(0) et En(1). ainsi que pour n impair la valeur de En(1/2)
f) déterminer E3(X) et E4(X)

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai déjà fait:
dans le 1: le a, le b.
question c)je bloque pour montrer que PHI est un automorphisme de R[X]. Je n'ai rien dans mon cours qui relie une application linéaire et sa restriction. (hormis le fait que la restriction d'une apllication linéaire est linéaire)
question d) je ne trouve pas de point de départ.

pour le 2:
j'ai réussi les question a, c et f
question b, je ne trouve pas par où commencer bien que je me doute qu'il faille se servir de la question a.
question c et d. Je pense qu'il faut se servir de la relation (1)