DS Suites Term ES

Sujet du devoir

ROC "restitution organisée de connaissances":

q est un réel non nul et différent de 1
Pour tout entier naturel n , on note Sn= 1+q+q² +q³+....+q^n
Montrer que pour tout entier naturel n : Sn= 1-qⁿ+1 / 1-q


Exercice 1

1.Etudier le sens de variation de la suite(Un) définie par U0=3 et Un+1= 2u²n+un+3 pour tout n∈N


2. (Un) est une suite géométrique de raison q>0 telle que U₁= 12 et U₅=3072: calculer q puis u₇


3. calculer 2+5+8+...+299+302


4 En utilisant une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1 er terme, calculer 1+2+4+8...32768


Exercice 2

Dans (Cn), ( Vn) le "n" est plus bas que le "C" et "V" j'arrive juste pas à le faire avec l'ordinateur

Le 1er janvier 2012, on a placé 5000 € à intérêts composés aux taux annules de 4% (cela signifie que les intérêts ajoutés au capita à chaque nouvelle année représentent 4% du capital de l'année précédente)
Chaque 1er janvier, on place 200€ supplémentaires sur ce compte.
On note C₀ = 5000 le capital disponible au 1er janvier de l'année 2012,
et Cn le capital disponible au 1er janvier de l'année 2012+n

1. Calculer les valeurs exactes de C₁ et C₂ je ne sais plus vraiment si j'ai réussit ici :S

2. Justifier que pour tout entier n, on a Cn+1= 1,04Cn+200

3. Justifier que la suite ( Cn) n'est ni arithmétique, ni géométrique.

4. Pour tout entier n , on pose Vn= Cn +5000
(a) Calculer V₀; montrer que (Vn) est une suite géométrique
(b) En déduire l'expression de Vn puis de Cn en fonction de n

Pour les questions suivantes, toute démarches sera prise en compte dans l'évaluation

5. Calculer le capital disponible à la fin de l'année 2020, arrondir à l'€ près.

6. Quel nombre minimal d'années devra-t-on attendre pour que le capital disponible dépasse 10 000 €?



Exercice 3

Soient (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n , par:

Un= 1/4(2ⁿ +4n-5) et Vn= 1/4(2ⁿ-4n+5)

1. Calculer U₀, U₁ et V₀, V₁

2. Montrer que la suite(an) de terme général an=Un+Vn est géométrique de raison 2; calculer sa somme Sa(n)= a₀+a₁+...+an

3. Montrer que la suite (bn) de terme général bn= un-vn est arithmétique de raison 2; calculer sa somme Sb(n)= b₀+b₁+...+bn

4. En déduire les sommes Su(n)=u₀+u+...+un et Sv(n)=v₀+v₁+...+vn

Où j'en suis dans mon devoir

Dans exercice 1 ==> j'ai fait le 1, 2 mais pas le reste

Exercice 2==> j'ai fait le 1 , 2, 3 mais pas le reste

Exercice 3==> 1 mais pas le reste