étude d'une fonction composée en elle-même bijection translation

Sujet du devoir

Comment montrer d'abord que c'est une injection, puis une surjection?
Et après encore croissant et pas décroissant?

Voici l'énoncé:
On considère la fonction f, continue de R dans R ( bon là on sait qu' elle est continue sur un intervalle donné, il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est monotone sur l'intervalle), satisfaisant l'équation:( c'est là que ça devient extra compliqué): fof-2f+id=0 avec id la fonction à qui x associe x



a) Montrer que f est une bijection

b) Montrer que f n'est pas décroissante sur R.




c)Montrer que f est croissante sur R

d)Montrer que quelque soit n appartenant à Z, f^n(0)= nf(0)
Plus généralement montrer que pour tout x appartenant à R, on peut trouver un réel t, dépendant à priori de x, tel que pour tout entier relatif n, f^n(x)= x+nt t est indépendant de n

d) Déduire de la croissance de f et de ce qui précède que f est une translation c'est à dire que t ne dépend pas de x.

Où j'en suis dans mon devoir

La première fois que je tombe sur une fonction composé uniquement de fonctions, et partout la même f. Comment faut-il faire avec ce truc?

a) Montrer que f est une bijection
on part de y=f(x) pour arriver à x= f(y) et si on arrive alors on a une bijection.
on a f(f(x))-2f(x) + x (car id à qui x associe x)= 0
D'où x= 2y-f(y)
mais ça faut montrer que ça marche or on a ni la valeur de x ni celle de y ni aucun outil pour calculer f(y).

b) Montrer que f n'est pas décroissante sur R.
là j'ai utilisé le raisonnement par l'absurde.
si f est décroissante alors fof est croissante et - fof est décroissante.
on sait que id est croissante alors on pose l'égalité fof-2f+ id=O
id= 2f-fof
Une fonction croissante doit être égale à une fonction croissante.
-fof est décroissante et 2f est décroissante
or id est croissante
donc L'égalité ne marche pas, donc f est forcément croissante.)

c)Montrer que f est croissante sur R

Or on a du démontrer que f est bijective. Une fonction bijective est strictement monotone et continue sur son intervalle. ici f n'est pas décroissante, donc elle est croissante sur R.

d)Montrer que quelque soit n appartenant à Z, f^n(0)= nf(0)
Plus généralement montrer que pour tout x appartenant à R, on peut trouver un réel t, dépendant à priori de x, tel que pour tout entier relatif n, f^n(x)= x+nt t est indépendant de n

( donc il faut montrer que f(f(f(f(f(f(0)=6f(0) j'ai pris un nombre au hasard.)
raisonnement par récurrence
Pour n= 1 on a f(0)= f(0)
donc pour n= 1 ça marche.
Supposons que la proposition est vraie pour tout n.
Maintenant démontrons que cest vrai pour tout n+1.
f^(n+1) f(0)= n+1 f(0)
f^(n)(f(0)) *f(0)= n f(0) + f(0)
or f(0)= f(0) et f^n(f(0))= nf(0)
donc d'près le raisonnement par récurrence f^n(0)= nf(0).Maintenant il s'agit de montrer que f^n(x)= x+nt t est indépendant de n est vrai.
On sait que f^n(0)= nf(0).
Pour x=0 on a f^n(0)= nt

pour n=1 f(x)=x+ t
on suppose que la proposition est vrai pour tout n.
on montre que c'est vrai pour tout n+1
f^(n+1) (x)= x + (n+1) t
f^n(x)*f(x)= x+ nt + t
or f(x)= x+t

et là est-ce que j'ai le droit de dire que f^n(x)= nt car là ça prouverait que t ne dépend pas de x et on rejoindrait la question d.
ah la je suis perdu je ne sais plus quoi faire.


d) Déduire de la croissance de f et de ce qui précède que f est une translation c'est à dire que t ne dépend pas de x.