Fonctions - Changement de variables

Bonjour;

d'abord il faut écrire ( 1+(1/x) )^x sous sa deuxième forme:
( 1+(1/x) )^x = exp( x*ln(1+(1/x)) )
puis on va tenter de trouver la limite à l'inf de x*ln(1+(1/x))

(limite en +inf toujours)
lim x*ln(1+(1/x)) = lim ln( 1 + (1/x) ) / (1/x)
lorsque x tend vers +inf, 1/x lui tend vers 0
donc lim ln( 1 + (1/x) ) / (1/x) = limy->0 ln( 1 + y ) / y
cette limite est connu =1 ( parceque la dérivé de ln en 1 est égale à 1)
donc lim ln( 1 + (1/x) ) / (1/x) = 1

donc lim exp( x*ln(1+(1/x)) ) = exp(1)
donc lim ( 1+(1/x) )^x = e

tu as compris?

A peu près...
Ce que je n'ai pas saisi c'est le changement de variable aufait..
Comment on arrive à trouver ce changement de variable ?

Pour trouver la limite de exp( x*ln(1+(1/x)) ), il faut d'abord chercher la limite de x*ln(1+(1/x)).
1er tentation:
x tend vers +OO ;
1/x tend vers 0 donc 1+(1/x) tend vers 1 donc ln(1+(1/x)) tend vers 0

donc x*ln(1+(1/x)) tend vers +OO * 0 forme indéfinie.

c'est pour cela qu'on doit se ramener à une expression dont on connait la limite ( ln(x)/x en +inf; ln(x)/(x-1) en 1; ln(x+h)/h en 0 ...) que tu doit connaitre .
on remarque donc que notre expression est proche de l'expression ln(x+h)/h ( pour laquelle on connait la limite en 0).
on va donc essayer de modifier notre expression pour la mettre sous cette forme.
lim x*ln(1+(1/x)) = lim ln( 1 + (1/x) ) / (1/x) ( on a pas fait grand chose, juste une réécriture en sachant que x = 1/(1/x) )
1/x tend vers 0 donc on est dans le cas " ln(x+h)/h en 0 "
( ln(x+h)/h tend vers 1 lorsque h tend vers 0, et ceci est vrais si h est une variable simple ou toute autre expression qui tend vers 0 )
à la place de h on a (1/x) qui se comporte comme h (1/x tend vers 0 lorsque x tend vers +inf)
donc limx-->+oo ln( 1 + (1/x) ) / (1/x) = limh-->0 ln(x+h) / h

c'est bon?

je voulais dire ln(1+h)/h à la place de ln(x+h)/h

Merci beaucoup c'est beaucoup plus clair =)

Bonnes vacances :)

bonnes vacances a toi aussi =)