Les logarithmes

Sujet du devoir

Bonsoir a tous, alors j'ai un devoir maison pour mardi 20 mais le probleme c'est que je n'y comprends rien du tout.
voici l'énoncé :
f est la fonction définie sur ]0 + infini [ par :
f(x)= xln(x)-x
C est la courbe représentative de f dans un repère.
a)factoriser l'ecriture de f(x) et en déduire la limite de f en +infini
on a admet que f a pour limite 0 en 0
b) calculer f'(x)et etudier le signe de f'(x)
c) dresser le tableau de variation de f
d) demontrer que l'equation f(x) = 0 a une unique solution (alpha) dans l'intervalle ]2;3[
verifier que 2,7 < (alpha) < 2,8
e) tracer la courbe C

Où j'en suis dans mon devoir

Alors pour la premiere question j'ai mis : f(x)=xln(x)-x revient à :
f(x)=x(ln(x)-x)

la limite c'est f(x) est lim ln(x) = +infini

pour la euxieme question:
j'hesite entre soit faire :
f(x)= xlnx-x
or d'apres les propriétés algébriques:
cela revient à f(x)= lnx

ou sinon à faire f(x)= xlnx-x
avec f(x)= u'v+v'u
f'(x)= 1*ln(x) +(1/x)* X
f'(x)= ln(x) +1
OR on admet que f a pour limite de 0 en0 donc ln(x)+1> 0 soit ln(x) >-1
soit ln(x) > -ln(e)
donc x> -(1/e)

MAis apres je ne suis pas du tout sure. svp aidez moi
J'ai surtout besoin d'explications parce que je ne comprends pas trop avec ma prof. Merci d'avance.