ALGORITHME Seconde pour un Devoir Maison

Sujet du devoir

Partie I

Soit n un entier naturel. On admet que la somme des n premiers carrés non nuls est égale à f n ( ) où
f est la fonction définie sur R par f(x) = x(x+1)(2x+1) / 6

On a donc: 12+22+...+(n-1)2+n2=n(n+1)(2n+1) / 6 . Par exemple :

12=f(1)= 1x(1+1)x(2x1+1) / 6 et 12+22 = f (2) = 2x(2+1)x(2x2+1) / 6.

1. Calculer f(100).Que vaut la somme des 100 premiers carrés non nuls ( c'est-à-dire 12+222.

2.On admet que la fonction f est strictement croissante sur ]0;+:infini:[.
Montrer que si f(x) <=140 alors x <= 7 ( on pourra penser à la contraposée...)...+992+1002) ?

3.a) Déterminer le plus grand entier n1 tel que la somme 12+22+...+(n1-1)2+n12 des n1 premiers carrés
non nuls soit inférieure ou égale à 100, c'est-à-dire le plus grand entier n1 tel que f (n1) ≤ 100.
b)Déterminer le plus grand entier n2 tel que la somme des n2 premiers carrés non nuls soit
inférieure ou égale à 3000.


PARTIE II
On s'intéresse aux entiers naturels qui sont la somme de carrés consécutifs d'entiers. C'est le cas par
exemple de 50 car : 50 = 32 + 42 + 52 . On admet que pour tout entier naturel N inférieur ou égal à 100,
l'algorithme ci-dessus nous donne :
- aucun message si N n'est pas la somme de carrés consécutifs d'entiers ;
- m et k si N est la somme de k carrés d'entiers consécutifs, le plus petit étant m2 .
Entrée N
Pour k de 1 à 7
Dans A mettre k
Dans B mettre A*(A-1)/2
Dans C mettre (B*(2*A-1)/3)-N
Dans D mettre B^2-A*C
Si D > 0 alors
Si "racine carrée de D" est entier alors
Dans m mettre ( "racine carrée deD"-B)/A
Afficher m, k
Fin du Si
Fin du Si
Fin de la boucle pour

questions :

1- Faire fonctionner l'algorithme pour N = 91. Écrire alors 91 comme une somme de carrés consécutifs
d'entiers.
On veut maintenant que l'algorithme précédent fonctionne pour tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à 3000.

2-Comment changer la 2e ligne (« Pour k de 1 à 7 ») de l'algorithme pour que celui-ci convienne pour
tous les nombres inférieurs ou égaux à 3000 (on pourra utiliser les résultats de la 1re partie).
Aucune justification n'est demandée.

3- On a appliqué le nouvel algorithme à 2010. L'algorithme a donné en sortie : k = 5. Quelle est la
valeur de m obtenue ? Écrire 2010 comme une somme de carrés d'entiers consécutifs.

4-On a appliqué le nouvel algorithme à 2018. L'algorithme a donné en sortie : m = 7.
Quelle est la valeur
de k obtenue ? Écrire 2018 comme une somme de carrés d'entiers consécutifs.

Où j'en suis dans mon devoir

Les questions 2 et 4 de la partie II me posent problème.

PARTIE I :

1. Calculer f(100).Que vaut la somme des 100 premiers carrés non nuls ( c'est-à-dire 12+22+...+992+1002) ?
==> Ici, je trouve 338350

2.On admet que la fonction f est strictement croissante sur ]0;+:infini:[.

Montrer que si f(x) <=140 alors x <= 7 ( on pourra penser à la contraposée...)
==> Ici, aucun problème pour démontrer

3.
a) Déterminer le plus grand entier n1 tel que la somme 12+22+...+(n1-1)2+n12 des n1 premiers carrés
non nuls soit inférieure ou égale à 100, c'est-à-dire le plus grand entier n1 tel que f (n1) ≤ 100.
==> D'après mon tableau de valeur à la calculatrice, je trouve 6

b)Déterminer le plus grand entier n2 tel que la somme des n2 premiers carrés non nuls soit
inférieure ou égale à 3000.
==> D'après mon tableau de valeur je trouve 20

PARTIE II

1- Faire fonctionner l'algorithme pour N = 91. Écrire alors 91 comme une somme de carrés consécutifs
d'entiers.
==> Ici, j'ai trouver en sortie m=1 avec k=6 et m=0 avec k=7

On veut maintenant que l'algorithme précédent fonctionne pour tous les entiers naturels inférieurs ou
égaux à 3000.

2-Comment changer la 2e ligne (« Pour k de 1 à 7 ») de l'algorithme pour que celui-ci convienne pour
tous les nombres inférieurs ou égaux à 3000 (on pourra utiliser les résultats de la 1re partie).
Aucune justification n'est demandée.
==> Ici, j'hésite entre 20 et 21 car pour les nombres inférieurs ou égaux à 100, on utilise 7 , or dans la question 3a) de la partie I, je trouve 6. Donc j'ajoute aussi 1 au résultat du b) pour les nombres inférieurs ou égaux à 3000.
HELP PLEASE !

3- On a appliqué le nouvel algorithme à 2010. L'algorithme a donné en sortie : k = 5. Quelle est la
valeur de m obtenue ? Écrire 2010 comme une somme de carrés d'entiers consécutifs.
==> Ici, j'ai trouver m=18


4-On a appliqué le nouvel algorithme à 2018. L'algorithme a donné en sortie : m = 7.
Quelle est la valeur
de k obtenue ? Écrire 2018 comme une somme de carrés d'entiers consécutifs.
==> Voila mon problème... Je n'arrive pas à retrouver la valeur de k...
HELP PLEASE !

Voila j'espère avoir été assez claire dans mes demandes d'aides
Merci pour votre aide future

3- On a appliqué le nouvel algorithme à 2010. L'algorithme a donné en sortie : k = 5. Quelle est la
valeur de m obtenue ? Écrire 2010 comme une somme de carrés d'entiers consécutifs.
==> Ici, j'ai trouver m=18

4-On a appliqué le nouvel algorithme à 2018. L'algorithme a donné en sortie : m = 7.
Quelle est la valeur
de k obtenue ? Écrire 2018 comme une somme de carrés d'entiers consécutifs.
==> Voila mon problème... Je n'arrive pas à retrouver la valeur de k...
HELP PLEASE !

Voila j'espère avoir été assez claire dans mes demandes d'aides
Merci pour votre aide future