mathematique Soit f la fonction définie

Sujet du devoir

Sujet :

Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par : f (x) = Ln(2x) − e−2x
Et soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i ; j )
Partie A
1. Calculer les limites de f en 0 et en + ∞ . En déduire que C admet une asymptote dont on
donnera une équation.
2. Calculer la dérivée de f ; en déduire le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation
complet de f. (
3. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α comprise entre 0,5 et 1.
Donner avec la calculatrice, un encadrement de α d’amplitude 10-1.
4. Étudier le signe de f(x) lorsque x est un réel de ]0;+∞[. )
5. Soit Γ la représentation graphique de la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = Ln(2x).
a. Étudiez Lim( f (x) g(x)) x
−
→+∞
. Interpréter géométriquement le résultat obtenu. (
b. Étudiez la position relative des courbes C et Γ . (
c. Tracez C et Γ dans le repère (O, i ; j ) . ()

Partie B
1. n étant un entier naturel non nul, soit Δn la partie du plan délimitée par les courbes C et Γ et
les droites d’équation x = n et x = n+1. Calculer, en unité d’aire, l’aire αn de Δn.
2. Montrer que la suite (αn) est une suite géométrique. Préciser son premier terme 1
α et la
valeur de sa raison q.
3. n étant un entier naturel non nul, soit En la partie du plan délimitée par les courbes C et Γ
et les droites d’équations x = 1 et x = n :
a. calculez en unité d’aire, l’aire An de En ;
b. calculez n
n
Lim A →+∞
;
c. interprétez géométriquement ce résultat.

Où j'en suis dans mon devoir

Calculer la dérivée de f ; en déduire le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation
Partie A
1. Calculer les limites de f en 0 et en + ∞ . En déduire que C admet une asymptote dont on
donnera une équation.
2. Calculer la dérivée de f ; en déduire le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation