probabilité

Sujet du devoir

Dans un premier temps, veuillez compléter le tableau ci-après. Vous devez le remettre avec votre devoir. Remplacez ensuite les lettres majuscules se trouvant dans l’énoncé du devoir par leurs valeurs correspondantes. Vous serez ainsi prêts à donner une réponse numérique pour chaque question.
Justifiez toutes vos réponses. Présentez une démarche claire.




.







Numéro de Matricule (Z) :

LETTRE DÉFINITION VALEUR
A (90 + 5e chiffre de Z) / 100
B 0,04 ⨯ ValeurAbsolue( 5 – 7e chiffre de Z )
+ 0,04 ⨯ ( 6e chiffre de Z / 10) + 0,04
C 15 – ValeurAbsolue( 5 – 7e chiffre de Z )
D 9 + 3e chiffre de Z
E 19 + 4e chiffre de Z
F 45 + 2⨯( 5e chiffre de Z )
G 46 + 2⨯( 6e chiffre de Z )
H 5 + PartieEntière( 4e chiffre de Z / 2 )
I 19 – H + PartieEntière( 3e chiffre de Z / 4 )
J H – 1 – PartieEntière( 7e chiffre de Z / 3 )
K 2⨯PartieEntière( I / 4 ) + J – 2⨯PartieEntière( J / 2 )
L 7 – PartieEntière( 6e chiffre de Z / 3,5)
M 3,2 + ((2e chiffre de Z + 3e chiffre de Z) / 50)
N 0,70 + ( 4e chiffre de Z / 100 )
O 0,86 + ( 5e chiffre de Z / 100 )
P 0,10 + ( 6e chiffre de Z / 50 )
Q 0,66 + ( 7e chiffre de Z / 50 )
R ( M ⨯ ( N + O ) ) / 8
S 15 + 3e chiffre de Z + 4e chiffre de Z
T C – 6
U 7 + ValeurAbsolue( 5 – 6e chiffre de Z )


















Exemple :

Numéro de Matricule (Z) : 1875436

LETTRE DÉFINITION VALEUR
A (90 + 5e chiffre de Z) / 100 0,94
B 0,04 ⨯ ValeurAbsolue( 5 – 7e chiffre de Z )
+ 0,04 ⨯ ( 6e chiffre de Z / 10) + 0,04 0,092
C 15 – ValeurAbsolue( 5 – 7e chiffre de Z ) 14
D 9 + 3e chiffre de Z 16
E 19 + 4e chiffre de Z 24
F 45 + 2⨯( 5e chiffre de Z ) 53
G 46 + 2⨯( 6e chiffre de Z ) 52
H 5 + PartieEntière( 4e chiffre de Z / 2 ) 7
I 19 – H + PartieEntière( 3e chiffre de Z / 4 ) 13
J H – 1 – PartieEntière( 7e chiffre de Z / 3 ) 4
K 2⨯PartieEntière( I / 4 ) + J – 2⨯PartieEntière( J / 2 ) 6
L 7 – PartieEntière( 6e chiffre de Z / 3,5) 7
M 3,2 + ((2e chiffre de Z + 3e chiffre de Z) / 50) 3,50
N 0,70 + ( 4e chiffre de Z / 100 ) 0,75
O 0,86 + ( 5e chiffre de Z / 100 ) 0,90
P 0,10 + ( 6e chiffre de Z / 50 ) 0,16
Q 0,66 + ( 7e chiffre de Z / 50 ) 0,78
R ( M ⨯ ( N + O ) ) / 8 0,721875
S 15 + 3e chiffre de Z + 4e chiffre de Z 27
T C – 6 8
U 7 + ValeurAbsolue( 5 – 6e chiffre de Z ) 9




Un étudiant peut commander une pizza de trois restaurants : Pizza Tartaglia, Pizza Cardano et Pizza Ferrari. Le tableau suivant indique la probabilité que le temps de livraison soit inférieur ou supérieur à 30 minutes pour chaque restaurant (le temps
de livraison est indépendant d’une commande à l’autre).



RestaurantPizza livrée en moins de 30 minutes avec probabilité Pizza livrée en 30 minutes ou plus avec probabilité
Pizza Tartaglia
Pizza Cardano
Pizza Ferrari


Pour choisir son restaurant préféré, l’étudiant procède comme suit. Il écrit les noms des trois restaurants sur une liste. Lors d’un premier mois il commande une pizza de chaque restaurant sur la liste, et il applique la stratégie suivante :
•si tous les restaurants ont livré en moins de 30 minutes ou bien s’ils ont tous livré en 30 minutes ou plus, il en efface un de la liste au hasard;

• si un seul restaurant a livré en 30 minutes ou plus, il est effacé de la liste;

• si deux restaurants ont livré en 30 minutes ou plus, un des deux est effacé de la liste au hasard.


Pour le deuxième mois, il y a obligatoirement deux restaurants sur la liste. Il applique alors la stratégie suivante :
• si les deux restaurants ont livré en moins de 30 minutes, il conserve les deux

restaurants sur la liste;

• si un seul restaurant a livré en 30 minutes ou plus, il est effacé de la liste et

l’étudiant choisi alors le dernier restaurant comme étant son préféré;

• si les deux restaurants ont livré en 30 minutes ou plus, l’étudiant réécrit le

nom du restaurant manquant sur la liste.

Si l’étudiant n’a pas choisi de restaurant préféré après le deuxième mois, il poursuit ce manège. Au début d’un nouveau mois, il procède selon la première stratégie si les trois restaurants sont présents sur la liste, ou bien selon la seconde stratégie s’il n’y a que deux restaurants sur la liste. Finalement, s’il n’a toujours pas trouvé son restaurant préféré après C mois, il s’abstient de choisir.


On suppose que le propriétaire de Pizza Ferrari peut ajuster la qualité du service de son restaurant de manière à choisir exactement la valeur de . Quelle valeur lui conseilleriez-vous d’adopter pour maximiser la probabilité que l’étudiant en question choisisse son restaurant comme préféré?




Question 2 (10 points)



Dans un centre de recyclage, un employé doit répartir des bouteilles dans deux bacs : un premier pour le verre (d’une capacité de bouteilles) et un second pour le plastique (d’une capacité de bouteilles).


Au début de sa journée de travail, alors que les deux bacs sont vides, l’employé reçoit un chargement à trier composé de bouteilles en verre et de bouteilles en plastique. On suppose que l’employé y pige des bouteilles une après l’autre au hasard pour remplir les bacs. Lorsqu’un des bacs est plein, l’employé arrête son travail pour l’apporter à une unité de traitement.


Quelle est la probabilité que l’employé ait fini de remplir le bac pour le verre avant celui pour le plastique?




Deux visiteurs se promènent aléatoirement dans un musée qui est représenté par le

schéma ci-dessous










H salles


(1,H)


.


(1,2)


(2,H)


.


(2,2)

… (I,H)


.


… (I,2)






(1,1) (2,1)

… (I,1)





I salles



Le premier visiteur emprunte une entrée menant à la salle ( ) et le second emprunte une autre entrée menant à la salle ( ) Après avoir observé les œuvres
de la salle pendant 1 minute, chacun des deux visiteurs se déplace dans une des salles voisines choisie au hasard (et indépendamment de l’autre visiteur). La même chose se produit alors dans la nouvelle salle; chacun des deux visiteurs observe les œuvres 1 minute puis se déplace dans une salle voisine choisie au hasard.


Finalement, chaque visiteur quitte le musée après avoir observé l’autre salle avec

une entrée. Ainsi, le premier visiteur sort du musée après avoir observé la salle
( ) et le second visiteur après avoir visité la salle ( )
Quelle est la probabilité que les deux visiteurs aient observé une même salle ensemble au moins une fois?



Une biologiste planifie l’étude d’une population de mésanges dans une forêt pendant années à l’aide du modèle suivant.


Soit la proportion des arbres occupés par des nids de mésange années après le

début de l’étude. La biologiste estime que la proportion d’arbres occupés l’année

suivante est donnée par
( )
De plus, la proportion d’arbres occupés qui est observée à l’année ( ) est
donnée par
où est un nombre réel choisi au hasard dans l’intervalle [ ] représentant un
facteur d’incertitude dans la méthode d’observation de Puisque cette méthode

est la même d’une année à l’autre, la valeur de ne change pas au cours de l’étude.



Finalement, puisque la biologiste choisit la forêt où se déroulera l’étude sans

connaissance de son état actuel, elle suppose que la proportion d’arbres occupés
au début de l’étude, est un nombre réel choisi au hasard dans l’intervalle [ ]
À quelle année la probabilité d’observer une proportion d’arbre occupés supérieure

à sera-t-elle la plus grande? Quelle est la valeur de cette probabilité?




Le plus jeune des professeurs d’un département de mathématiques décide de partager sa preuve d’un nouveau théorème à ses collègues de la manière suivante. Il démontre le théorème en privé à un de ceux-ci choisi au hasard, puis il lui indique de faire de même avec un autre collègue choisi au hasard dans le département. Le deuxième professeur choisi donc un collègue au hasard (autre que le premier) pour lui transmettre la preuve et l’instruction de la faire circuler.


Ce procédé se poursuit de sorte qu’un professeur prenant connaissance de la preuve la transmet à un collègue choisi au hasard, en excluant toujours celui qui lui en a fait la démonstration. Finalement, on suppose qu’un professeur arrête de faire circuler la preuve lorsqu’il est choisi une seconde fois.


Quelque temps après que la fin de la transmission de la preuve, les professeurs aînés du département se retrouvent à un congrès. Au banquet de clôture, ceux-ci sont assis ensemble à une table circulaire. Quelle est la probabilité qu’au moins deux voisins de table connaissent la preuve du jeune professeur, étant donné qu’elle a été transmise moins de fois?

Où j'en suis dans mon devoir

Dans un premier temps, veuillez compléter le tableau ci-après. Vous devez le remettre avec votre devoir. Remplacez ensuite les lettres majuscules se trouvant dans l’énoncé du devoir par leurs valeurs correspondantes. Vous serez ainsi prêts à donner une réponse numérique pour chaque question.
Justifiez toutes vos réponses. Présentez une démarche claire.




.







Numéro de Matricule (Z) :

LETTRE DÉFINITION VALEUR
A (90 + 5e chiffre de Z) / 100
B 0,04 ⨯ ValeurAbsolue( 5 – 7e chiffre de Z )
+ 0,04 ⨯ ( 6e chiffre de Z / 10) + 0,04
C 15 – ValeurAbsolue( 5 – 7e chiffre de Z )
D 9 + 3e chiffre de Z
E 19 + 4e chiffre de Z
F 45 + 2⨯( 5e chiffre de Z )
G 46 + 2⨯( 6e chiffre de Z )
H 5 + PartieEntière( 4e chiffre de Z / 2 )
I 19 – H + PartieEntière( 3e chiffre de Z / 4 )
J H – 1 – PartieEntière( 7e chiffre de Z / 3 )
K 2⨯PartieEntière( I / 4 ) + J – 2⨯PartieEntière( J / 2 )
L 7 – PartieEntière( 6e chiffre de Z / 3,5)
M 3,2 + ((2e chiffre de Z + 3e chiffre de Z) / 50)
N 0,70 + ( 4e chiffre de Z / 100 )
O 0,86 + ( 5e chiffre de Z / 100 )
P 0,10 + ( 6e chiffre de Z / 50 )
Q 0,66 + ( 7e chiffre de Z / 50 )
R ( M ⨯ ( N + O ) ) / 8
S 15 + 3e chiffre de Z + 4e chiffre de Z
T C – 6
U 7 + ValeurAbsolue( 5 – 6e chiffre de Z )


















Exemple :

Numéro de Matricule (Z) : 1875436

LETTRE DÉFINITION VALEUR
A (90 + 5e chiffre de Z) / 100 0,94
B 0,04 ⨯ ValeurAbsolue( 5 – 7e chiffre de Z )
+ 0,04 ⨯ ( 6e chiffre de Z / 10) + 0,04 0,092
C 15 – ValeurAbsolue( 5 – 7e chiffre de Z ) 14
D 9 + 3e chiffre de Z 16
E 19 + 4e chiffre de Z 24
F 45 + 2⨯( 5e chiffre de Z ) 53
G 46 + 2⨯( 6e chiffre de Z ) 52
H 5 + PartieEntière( 4e chiffre de Z / 2 ) 7
I 19 – H + PartieEntière( 3e chiffre de Z / 4 ) 13
J H – 1 – PartieEntière( 7e chiffre de Z / 3 ) 4
K 2⨯PartieEntière( I / 4 ) + J – 2⨯PartieEntière( J / 2 ) 6
L 7 – PartieEntière( 6e chiffre de Z / 3,5) 7
M 3,2 + ((2e chiffre de Z + 3e chiffre de Z) / 50) 3,50
N 0,70 + ( 4e chiffre de Z / 100 ) 0,75
O 0,86 + ( 5e chiffre de Z / 100 ) 0,90
P 0,10 + ( 6e chiffre de Z / 50 ) 0,16
Q 0,66 + ( 7e chiffre de Z / 50 ) 0,78
R ( M ⨯ ( N + O ) ) / 8 0,721875
S 15 + 3e chiffre de Z + 4e chiffre de Z 27
T C – 6 8
U 7 + ValeurAbsolue( 5 – 6e chiffre de Z ) 9




Un étudiant peut commander une pizza de trois restaurants : Pizza Tartaglia, Pizza Cardano et Pizza Ferrari. Le tableau suivant indique la probabilité que le temps de livraison soit inférieur ou supérieur à 30 minutes pour chaque restaurant (le temps
de livraison est indépendant d’une commande à l’autre).



Restaurant Pizza livrée en moins de 30 minutes avec probabilité Pizza livrée en 30 minutes ou plus avec probabilité
Pizza Tartaglia
Pizza Cardano
Pizza Ferrari


Pour choisir son restaurant préféré, l’étudiant procède comme suit. Il écrit les noms des trois restaurants sur une liste. Lors d’un premier mois il commande une pizza de chaque restaurant sur la liste, et il applique la stratégie suivante :
• si tous les restaurants ont livré en moins de 30 minutes ou bien s’ils ont tous

livré en 30 minutes ou plus, il en efface un de la liste au hasard;

• si un seul restaurant a livré en 30 minutes ou plus, il est effacé de la liste;

• si deux restaurants ont livré en 30 minutes ou plus, un des deux est effacé de la liste au hasard.


Pour le deuxième mois, il y a obligatoirement deux restaurants sur la liste. Il applique alors la stratégie suivante :
• si les deux restaurants ont livré en moins de 30 minutes, il conserve les deux

restaurants sur la liste;

• si un seul restaurant a livré en 30 minutes ou plus, il est effacé de la liste et

l’étudiant choisi alors le dernier restaurant comme étant son préféré;

• si les deux restaurants ont livré en 30 minutes ou plus, l’étudiant réécrit le

nom du restaurant manquant sur la liste.

Si l’étudiant n’a pas choisi de restaurant préféré après le deuxième mois, il poursuit ce manège. Au début d’un nouveau mois, il procède selon la première stratégie si les trois restaurants sont présents sur la liste, ou bien selon la seconde stratégie s’il n’y a que deux restaurants sur la liste. Finalement, s’il n’a toujours pas trouvé son restaurant préféré après C mois, il s’abstient de choisir.


On suppose que le propriétaire de Pizza Ferrari peut ajuster la qualité du service de son restaurant de manière à choisir exactement la valeur de . Quelle valeur lui conseilleriez-vous d’adopter pour maximiser la probabilité que l’étudiant en question choisisse son restaurant comme préféré?




Question 2 (10 points)



Dans un centre de recyclage, un employé doit répartir des bouteilles dans deux bacs : un premier pour le verre (d’une capacité de bouteilles) et un second pour le plastique (d’une capacité de bouteilles).


Au début de sa journée de travail, alors que les deux bacs sont vides, l’employé reçoit un chargement à trier composé de bouteilles en verre et de bouteilles en plastique. On suppose que l’employé y pige des bouteilles une après l’autre au hasard pour remplir les bacs. Lorsqu’un des bacs est plein, l’employé arrête son travail pour l’apporter à une unité de traitement.


Quelle est la probabilité que l’employé ait fini de remplir le bac pour le verre avant celui pour le plastique?




Deux visiteurs se promènent aléatoirement dans un musée qui est représenté par le

schéma ci-dessous










H salles


(1,H)


.


(1,2)


(2,H)


.


(2,2)

… (I,H)


.


… (I,2)






(1,1) (2,1)

… (I,1)





I salles



Le premier visiteur emprunte une entrée menant à la salle ( ) et le second emprunte une autre entrée menant à la salle ( ) Après avoir observé les œuvres
de la salle pendant 1 minute, chacun des deux visiteurs se déplace dans une des salles voisines choisie au hasard (et indépendamment de l’autre visiteur). La même chose se produit alors dans la nouvelle salle; chacun des deux visiteurs observe les œuvres 1 minute puis se déplace dans une salle voisine choisie au hasard.


Finalement, chaque visiteur quitte le musée après avoir observé l’autre salle avec

une entrée. Ainsi, le premier visiteur sort du musée après avoir observé la salle
( ) et le second visiteur après avoir visité la salle ( )
Quelle est la probabilité que les deux visiteurs aient observé une même salle ensemble au moins une fois?



Une biologiste planifie l’étude d’une population de mésanges dans une forêt pendant années à l’aide du modèle suivant.


Soit la proportion des arbres occupés par des nids de mésange années après le

début de l’étude. La biologiste estime que la proportion d’arbres occupés l’année

suivante est donnée par
( )
De plus, la proportion d’arbres occupés qui est observée à l’année ( ) est
donnée par
où est un nombre réel choisi au hasard dans l’intervalle [ ] représentant un
facteur d’incertitude dans la méthode d’observation de Puisque cette méthode

est la même d’une année à l’autre, la valeur de ne change pas au cours de l’étude.



Finalement, puisque la biologiste choisit la forêt où se déroulera l’étude sans

connaissance de son état actuel, elle suppose que la proportion d’arbres occupés
au début de l’étude, est un nombre réel choisi au hasard dans l’intervalle [ ]
À quelle année la probabilité d’observer une proportion d’arbre occupés supérieure

à sera-t-elle la plus grande? Quelle est la valeur de cette probabilité?




Le plus jeune des professeurs d’un département de mathématiques décide de partager sa preuve d’un nouveau théorème à ses collègues de la manière suivante. Il démontre le théorème en privé à un de ceux-ci choisi au hasard, puis il lui indique de faire de même avec un autre collègue choisi au hasard dans le département. Le deuxième professeur choisi donc un collègue au hasard (autre que le premier) pour lui transmettre la preuve et l’instruction de la faire circuler.


Ce procédé se poursuit de sorte qu’un professeur prenant connaissance de la preuve la transmet à un collègue choisi au hasard, en excluant toujours celui qui lui en a fait la démonstration. Finalement, on suppose qu’un professeur arrête de faire circuler la preuve lorsqu’il est choisi une seconde fois.


Quelque temps après que la fin de la transmission de la preuve, les professeurs aînés du département se retrouvent à un congrès. Au banquet de clôture, ceux-ci sont assis ensemble à une table circulaire. Quelle est la probabilité qu’au moins deux voisins de table connaissent la preuve du jeune professeur, étant donné qu’elle a été transmise moins de fois?