Activité introduction Fonction logarithme népérien

Sujet du devoir

La calculatrice a une touche ln. Quelles sont les propriétés caractéristiques de la fonction ln?

1. a) Tracer, à l'aide de votre calculatrice, la courbe représentative de la fonction ln appelée logarithme népérien. Préciser, à partir de cette représentation graphique, les valeurs prises par la variable x.

b) Compléter le tableau de valeurs ci-contre lorsque cela est possible. Arrondir les résultats à 0,01.

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2. a) Soit la fonction g définie par g(x)=1/x sur l'intervalle [0,2;5]. Compléter le tableau de valeurs ci-contre.

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b) On donne dans le repère ci-contre la représentation de la fonction logarithme népérien. Tracer sur cette même figure les différentes droites passant par les points de coordonnées (x;ln(x)) et de coefficient directeur g(x).
exemple: la droite (D1) passe par le point (1;ln(1)) et a pour coefficient directeur g(1)=1

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c) Quelle est la position des différentes droites par rapport à C?

d) Quelle conjecture peut-on faire entre la fonction logarithme népérien et la fonction g(x)=1/x?

e) Vérifier la conjecture à l'aide de votre calculatrice.

3. a) Etablir le signe de g(x) sur l'intervalle [0,2;5]

b) En déduire le sens de variation de la fonction ln sur le même intervalle.

c) Préciser le signe de ln(x) selon les valeurs de x

4. a) Tracer la droite y=1 et résoudre graphiquement l'équation ln(x)=1

b) On appelle e la solution de l'équation ln(x)=1. Donner la valeur arrondie à 0,01 de e.

Situation 2: L'oreille d'une personne normale est soumise à une pression acoustique p, exprimée en bar. L'intensité sonore L, exprimée en décibel, est donnée par la formule: L=8,68ln(p)+93,98
Une personne ne peut supporter plus de 120 décibels. Quelle est la pression sonore correspondante?

1. On considère la fonctionf définie sur l'intervalle [0,5;25] par f(x)=8,68ln(x)+93,98

a) A l'aide de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir à l'unité)

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b) Visualiser, à l'aide de votre calculatrice, la courbe C représentative de la fonction f et en déduire le sens de variation de la fonction f.

c) Soit la fonction g(x)=ln(x), montrer que la fonction f s'écrit sous la forme k*g+c et donner les valeurs de k et c

d) Sachant que la fonction g est croissante sur [0,5;25], en déduire le sens de variation de la fonction f sur ce même intervalle.

e) Etablir le tableau de variation de la fonction f

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2.a) Déterminer , à l'aide de votre calculatrice, l'intensité sonore, en décibel, correspondant à une pression acoustique de 14 bars (arrondir à l'unité).

b) Une personne normale ne peut supporter un bruit d'intensité supérieur à 120 décibels. Déterminer graphiquement, à l'aide de votre calculatrice, la pression maximale supportée.

c) Sachant que la solution de l'équation ln(x)=a est donnée par x=ea (note typographique: a en indice), retrouver par le calcul le résultat précédent.

Où j'en suis dans mon devoir

1.a) Fait à la calculette.

b) Voir lien dans l'exercice.

2.a) Voir lien dans l'exercice.

b) Voir lien dans l'exercice.

c) Elles sont toutes tangentes à différents points par rapport à C.

d) Qu'elles se croisent en un point de coordonnées x=1,78 et y=0,57

e) Fait à la calculatrice.

3.b) http://nathanielofwood.files.wordpress.com/2013/01/r3b.png

c) Le signe de ln(x) est généralement négatif.

4.a) ln(2,7)~=1 Voir lien dans l'exercice.


Situation 2:

1.a) voir lien dans l'exercice.

e) voir lien dans l'exercice.

2.a) 14 bars correspond à 116,9 décibel.

b) On peut supporter jusqu'à 135,6 de pression.