Complexe et lieu géométrique.

Sujet du devoir

Soit A le point d'affixe z ; à tout point M d'affixez, distinct de A, on associe M' d'affixe : z'=(iz)/(z-i)
a) determiner l'ensemble T des points M, distincts de A, pour lesquels z' est réel
b) Montrer que : z'-i=(-1)/(z-i)
c) On suppose que M d'affixe z appartient au cercle C de centre A et de rayon 1. Montrer que M' appartient à C

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai déja répondu à la question a) en trouvant que pour que z' soit réel il faut que M appartienne au cercle de centre O et de rayon 1/2 avec O(-1/2;0) et j'ai également réussi à démonter le b).
Cependant pour la question c) je ne sais pas trop comment m'y prendre.
J'ai fait sa me je ne sais pas si cela est correct :
M appartient au cercle de centre A et de rayon 1 <=> AM=1 <=> |z-za|=1 <=>|z-i|=1 et après je ne sais pas comment continué.
Merci de votre aide.