Correction DS

Sujet du devoir

Bonsoir,

Je suis élève en Tale S.SI spé maths, et j'ai justement un DS mercredi en spé, sur la divisibilité, les divisions euclidiennes et le calcul matriciel. Du coup pour m'entrainer j'ai refait le DS de l'an passé. Et j'espérais que vous pourriez me corriger si jamais j'ai fait une erreur...

Le sujet : EXERCICE 1:

1) déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de 52 

2) déterminer les couples (x ; y) d'entiers naturels tels que x²=y²+52

EXERCICE 2: 

1) vérifier que pour tout entier naturel n, n^3+n+11 = (n²-2n+4)(n+2) + (n+3)

2) déterminer selon les valeurs de l'entier naturel n le reste r(n) de la division euclidienne de n^3+n+11 par n²-2n+4

3) existe-t-il des valeurs de l'entier naturel n pour que n²-2n+4 divise n^3+n+11 ? 

4)démontrer que le reste de la division euclidienne de n^3+n+11 par n+2 est indépendant de n

EXERCICE 3:

au cours du premier trimestre de l'année 2013, un commerçant relève les ventes d'un modèle de pantalon disponible en deux couleurs, désignées par 1 et 2, et en trois tailles, désignées par 1, 2 et 3

le relevé des ventes est enregistré dans la matrice :

A= 30 80 40 

      60 120 70

dont les coefficients sont notés aij

1) a) que représente le nombre 120 ? 

b) quelles sont les valeurs possibles de i ? 

c) quelles sont les valeurs possibles de j ? 

d) quelles sont les dimensions de la matrice A ?

e) indique si possible la valeur des coefficients suivants :

a12, a21 et a31

2) le commerçant espère durant le deuxième trimestre de cette même année, augmenter ses ventes de 20% pour chaque taille et chaque couleur de ce modèle de pantalon. exprimer en fonction de A la matrice B correspondant aux espérances de ventes du commerçant pour ce trimestre puis calculer la matrice B.

3) en réalité, les espérances de ce commerçant ne se réalisent pas puisque le relevé des ventes en cours de ce trimestre est enregistré dans la matrice :

C = 40 90 60

70 140 80

a) montrer qu'il existe une matrice D que l'on déterminera telle que C = A+D

b) calculer la matrice E des ventes de ce commerçant au cours du premier semestre de l'année 2013

Où j'en suis dans mon devoir

EXERCICE 1:

1) D+52 = (1 ; 2 ; 4)

2) x² = y²+52

x² -y² = 52

(x-y)(x+y) = 52

Donc x-y est un diviseur de 52 et x+y aussi

Donc x-y et x+y sont égaux à 1, 2 ou 4

Soit (x;y) = (1;0), (2;0), (1;1), (4;0), (3;1) et (2;2)

EXERCICE 2:

1) (n²-2n+4)(n+2)+(n+3) = n^3 +2n²-2n²+4n+4n+8+n+3

= n^3+n+11

2) n^3+n+11 = (n²-2n+4)(n+2)+(n+3)

Si o=< n+3 < n²-2n+4 alors le reste de la division euclidienne de n^3+n+11 par n²-2n+4 est r(n) = n+3

0=< n+3 est vérifiée pour tout entier naturel n

n+3<n²-2n+4

-1<n²-n

or n²-n >=0

donc pour n=<0 j'ai r(n) = n+3

3) non comprise

4) (n^3+n+11) est divisée par (n+2)

n+2 divise n+2

donc n+2 divise toute combinaison linéaire de n+2 et n^3+n+11 en particulier, n+2 divise :

(n^3+n+11) - (n+2)(n²-2n+4)

= n+3

n+2 divise toute combinaison linéaire de n+2 et n+3, en particulier n+2 divise :

(n+3) - (n+2) = 1

donc le reste de la division euclidienne de n^3+n+11 par n+2 est indépendant de n

EXERCICE 3:

1) a) il représente le nombre de ventes d'un pantalon de couleur 2 et de taille 2

b) i a pour valeurs possibles 1 ou 2

c) j a pour valeurs possibles 1, 2 ou 3 

d) les dimensions sont de 2x3

e) a12 = 80, a21 = 60 et a31 impossible

2) B=1.2A

B= 36 96 48

72 144 84

3) a) Si C=A+D alors D=C-A

Soit la matrice C-A

C-A = 10 10 20

10 20 10

donc 

D= 10 10 20

10 20 10

b) E= A+C

E= 70 170 100

130 260 150

Voila !

Je suis désolée de la longueur du sujet...

En espérant que vous pourrez m'aider

Bonne soirée