devoir sur les suites

Sujet du devoir

Le paradoxe de l’infini.
A priori la somme d’un nombre infini de longueurs est une longueur infinie.
Au Vème siècle avant J.C., le grec Zénon d’Elée (−490 ; −425) nous exprime qu’il peut en être
autrement :
« Achille, célèbre pour sa rapidité et son endurance, est capable de courir très longtemps.
Il décide d’entreprendre une course de l’équivalent d’un kilomètre en plusieurs étapes. (Précisons que
le kilomètre n’existait pas encore à cette époque.)
À la 1ère étape, Achille parcourt la moitié de la longueur de la course.
À la 2ème étape, il parcourt la moitié de la longueur restante et ainsi de suite en poursuivant le
processus de division... »
1) Quelle est la distance parcourue durant la 1ère étape de la course ? la 2ème étape de la course ?
Durant la 3ème étape ? Durant la 4ème étape ?
2) On note un la distance parcourue durant la nième étape de la course.
a) Exprimer un+1 en fonction de un.
b) Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on donnera la raison q et le premier terme u1.
c) Exprimer un en fonction de n.
3) a) Démontrer que pour tout n∈ ℕ, on a : �! + �! +. . . +�! = 1000×( 1 − 0,5!).
b) Calculer la limite de cette somme et donner une interprétation du résultat.
4) À l’aide de la calculatrice, et d’un algorithme qu’on recopiera sur la copie, déterminer le nombre
minimum d’étapes pour approcher l’arrivée à moins de 1mm.
5) La fin de l’argument (la suite de l’énoncé) de Zénon d’Edée est « ... Ainsi, pendant toute sa course,
Achille se rapprochera de plus en plus de l’arrivée, sans jamais la dépasser ». En vous servant du
devoir mathématique que vous venez de réalisez, que pensez-vous de ce paradoxe ? Autrement dit
pouvons-nous contredire ou confirmer cette proposition qui paraît logique : « la somme d’un
nombre infini de longueurs est une longueur infinie » ?
T

Où j'en suis dans mon devoir

bonsoir pouvez vous m aidez a finir mon devoir s il vous plait je suis bloqué a la question 4 et 5

merci d avance pour toute réonse

pour la questions 1 j ai trouver

u0=1000

u1=500

u2=250

u3=125

u4=62.5

2)a)un+1=un*1/2

b)u1=u0*1/2=1000*1/2=500

donc un est une suite geometrique de premier terme 500et de raison 1/2

3)a)500*1-q^n/0.5=1000*(1-0.5)^n

b)la limite est 0 car on s approche de 1 sans jamais la teindre

et après je ne sais pas comment continuer pour la question 4 et 5